Глава XX. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

§ 20.1. Индекс кривой и индекс особой точки.

В этой главе мы продолжим изучение периодических движений, которые возможны в системе

Траектории периодических движений суть простые замкнутые кривые. Они являются замкнутыми силовыми линиями поля если таковые существуют.

Известны случаи, когда все силовые линии поля являются замкнутыми. Рассмотрим прямолинейное движение частицы в силовом поле. Уравнением траектории будет

и если (гармонический осциллятор) или, вообще, если с увеличением х от до функция V монотонно убывает от некоторого минимума, а затем монотонно возрастает до то все силовые линии являются замкнутыми, а все возможные движения — периодическими. Этот случай, однако, является исключительным. Во многих важных случаях существует только одна циклическая траектория, причем почти все траектории имеют форму спиралей, приближающихся к периодической траектории. Система, так сказать, имеет тенденцию к периодическому движению.

Мы будем пользоваться термином циклическая траектория вместо замкнутая траектория, так как в доказательствах теорем настоящей главы будет применяться теория точечных множеств и термин замкнутая будет употребляться в том смысле, в каком он обычно употребляется в теории множеств.

Особые точки, изучавшиеся в предыдущей главе, представляют собой вырожденные случаи циклических характеристик.

Рассмотрим простую замкнутую кривую не проходящую через особые точки; пусть точка проходит всю эту кривую, двигаясь в положительном направлении (против хода часовой стрелки). Обозначим через наклон силы поля к оси в точке Если точка двигаясь по кривой в положительном направлении, против хода часовой стрелки, совершает один полный оборот, то изменяясь непрерывно с изменением получает приращение где целое положительное или отрицательное число или нуль. Число называется индексом кривой для заданного поля. Изменение при перемещении точки по кривой можно представить посредством отображения кривой на единичную окружность. Если через и обозначить единичный вектор то индекс будет равен числу полных оборотов вектора и при одном обходе точки по кривой

Если кривая фиксирована, а векторное поле непрерывно изменяется, но так, что на кривой не появляется особых точек, то индекс кривой остается без изменения. Обратно, если зафиксировать поле и непрерывно деформировать кривую но так, чтобы она оставалась простой замкнутой кривой,

не проходящей через особую точку, то индекс не изменится. Это непосредственно следует из того простого факта, что переменная, которая может принимать лишь дискретные значения, при непрерывном изменении может лишь оставаться постоянной.

Рассмотрим теперь изолированную особую точку Окружим ее малым кружком у; радиус кружка возьмем столь малым, чтобы ни внутри его, ни на его границе, кроме не было других особых точек. Тогда индекс кривой у будет иметь вполне определенное значение, не зависящее от радиуса кружка, поскольку с изменением радиуса в нем не появляется других особых точек. Это число называют индексом особой точки

Понятие индекса встречается в теории функций комплексной переменной. Если регулярная функция определяется векторным полем

то индекс кривой равен числу нулей функции (с учетом их кратности), расположенных внутри кривой Если регулярна внутри и на ее границе, за исключением конечного числа полюсов внутри этой области, то индекс равен где число полюсов (с учетом кратности), расположенных внутри

Нетрудно определить индекс для каждого типа особых точек, рассмотренных в предыдущей главе. Как и ранее, поместим начало координат в особой точке поля. Тогда будем иметь

причем значение якобиана в точке О, отлично от нуля. Для определения индекса можно вместо поля рассматривать поле так как угол между при приближении к точке О стремится к нулю (§ 19.6). Рассмотрим малый кружок у с центром в С и поле

Отображение

где интерпретируются как прямоугольные координаты на вспомогательной диаграмме, переводит круг у на плоскости в эллипс на плоскости причем если то положительному направлению обхода круга соответствует положительное направление обхода эллипса, а если отрицательное направление. Через мы обозначили

Следовательно, при индекс особой точки равен а при равен —1. С другой стороны, равно произведению собственных значений матрицы А (§ 19.4); это произведение положительно для узла, фокуса и центра и отрицательно для седла. Таким образом, индекс любой допустимой особой точки (при равен для узла, фокуса и центра и —1 для седла).

Если замкнутая кривая лежит в односвязной области поля без особых точек, то ее индекс равен нулю. В самом деле, такую кривую можно, не изменяя индекса, путем непрерывной деформации стянуть в точку. Если простая замкнутая кривая, не имеющая на себе особенностей, а имеющая лишь допустимые изолированные особые точки внутри ограничиваемой ею области, то индекс для кривой равен сумме индексов охватываемых ею особых точек. Число особых точек в области, ограничиваемой кривой, должно быть конечным. При этом условии сформулированное утверждение легко

доказать. Рассмотрим, например, кривую, изображенную на рис. 90. Индекс этой кривой равен нулю; с другой стороны, он равен индексу минус сумма индексов отдельных петель. Таким образом, индекс для кривой равен где число седловых точек, число особенностей других типов, содержащихся в области, ограниченной кривой

В важном частном случае, когда является циклической траекторией, ее индекс равен единице (назависимо от того, совершается ли движение по ходу часовой стрелки или против). Таким образом, для циклической траектории

Отсюда следует, что не существует циклических траекторий, которые бы не охватывали особых точек или охватывали бы одни лишь точки типа седла. Простейшим является случай, когда в области, ограниченной циклической траекторией, имеется всего одна изолированная особая точка (отличная по типу от седла); в этом случае

Рис. 90.