§ 24.14. Функции, находящиеся в инволюции.

Мы видели, что если преобразование является контактным, то составляющих как функции от удовлетворяют условию Если система функций такова, что скобка Пуассона любых двух функций тождественно равна нулю, то говорят, что эти функции находятся в инволюции.

Ясно, что произвольные функций от не могут служить первыми составляющими контактного преобразования, так как эти функции должны находиться в инволюции. Естественно, возникает вопрос: пусть даны функций находящихся в инволюции, спрашивается, можно ли указать других функций таких, чтобы преобразование было контактным?

В простейшем случае расширенного точечного преобразования (§ 24.4) ответ на этот вопрос, разумеется, будет утвердительным; такой же ответ можно дать I в ряде других случаев, которые будут рассмотрены ниже.

Рассмотрим функций находящихся в инволюции, и предположим, что якобиан

не равен тождественно нулю. Переменные не связаны никаким тождественным соотношением, и мы можем разрешить уравнений

-относительно Проделав это, получим

Докажем, что для всех пар справедливы равенства

Подставляя в (24.14.2) вместо функции получаем тождество относительно переменных

Дифференцируя это тождество частным образом по находим

Если теперь умножить полученное равенство на и просуммировать по от 1 до то получим

Вычтем из этого уравнения такое же уравнение, в котором переставлены индексы ; используя условие найдем

Если во втором члене слева поменять местами повторяющиеся индексы то полученное равенство можно представить в форме

Всего мы имеем таких уравнений (соответственно числу пар значений и из этой системы линейных однородных уравнений можно найти неизвестных величин

Определитель из коэффициентов этой системы равен и не равен нулю; следовательно, для всех пар чисел справедливы равенства

Отсюда следует, что существует функция такая, что

а матрица является неособой (в противном случае между переменными существовало бы тождественное соотношение). Поэтому, если положить

то уравнения (24.14.11), (24.14.12) определят контактное преобразование (см. (24.2.7), (24.2.8)), что и требовалось доказать.