Несимметричный характер углов Эйлера порождает следующий любопытный парадокс. Если в некоторый момент времени триэдр 
совпадает с триэдром 
так что 
то формулы (7.16.1) дают
Составляющая 
оказывается равной нулю, каковы бы ни были заданные нами конечные значения 
Поэтому пользоваться углами Эйлера в тех задачах, где триэдр 
в некоторый момент совпадает с триэдром 
не очень удобно, за исключением тех случаев, когда в этот момент вектор угловой скорости лежит в плоскости 
Вообще, если 
то из формул (7.16.1) следует, что 
что в общем случае неверно.
2. Углы 
. В этом случае угловая скорость представляет векторную сумму трех следующих векторов: вектора, равного по величине 
и направленного вдоль оси 
вектора, равного по величине 
и направленного вдоль оси 
и вектора, равного по величине 
и направленного вдоль оси 
(рис. 17). Обозначая через 
составляющие вектора угловой скорости соответственно по осям 
будем иметь
где 
Здесь мы также встречаемся с некоторыми парадоксами, например, при 
При 
составляющие вектора угловой скорости равны 
как и следовало ожидать.
3. Полученные выше результаты можно вывести также из формулы (7.15.7) для 
Выбирая в качестве переменных углы 
будем иметь
и
Отсюда
где аргументами матриц-функций 
служат 
Матрица 
удовлетворяет соотношению
Аналогично
Используя эти результаты, можно формулу (7.16.3) переписать в следующем виде:
Таким образом, мы снова получаем соотношения (7.16.2), однако метод, изложенный в п. 1, является более простым.
Сначала будем предполагать, что ориентация тела определяется углами Эйлера, а затем рассмотрим ориентацию тела с помощью углов 
и направленного по оси 
вектора, равного по величине 
и направленного по оси 
и вектора, равного по величине 
и направленного по оси 
(рис. 16). Обозначая через 
составляющие вектора угловой скорости соответственно по осям 
можем написать
