§ 29.10. Преобразованная форма уравнений движения.

Перейдем теперь от движения в плоскости к общему случаю. Откажемся на время от предположения, что центр масс находится в покое. Обозначим вектор через и, а вектор центр масс двух частиц через (рис. 120). Вектор равен — а вектор равен где

Рис. 120.

Обозначим теперь составляющие и через х, у, z, а составляющие через Выразим через эти координаты по формуле (29.1.6). Опуская временно члены, обусловленные движением центра масс, запишем те слагаемые в выражении для которые связаны с относительным движением в направлении оси

где

Присоединяя соответствующие выражения для координат получаем следующую компактную формулу:

Далее имеем

где

Лагранжевы уравнения движения имеют вид

и аналогично для координат

Прежде всего заметим, что функция не зависит от поэтому из первого уравнения (29.10.7) следует, что Точно так же получаем, что

и, следовательно, центр масс совершает равномерное прямолинейное движение. Векторы определяющие относительное положение частиц, удовлетворяют уравнениям Лагранжа, получаемым из кинетической энергии

и потенциальной функции В результате приходим к задаче с шестью степенями свободы вместо девяти. В самом деле, мы уже видели, что без потери общности можно считать, что центр масс находится в покое. Второе и третье уравнения (29.10.7) теперь принимают вид

где

Присоединяя соответствующие уравнения для получаем векторные уравнения

Если найдены, то положения частиц относительно центра масс определяются векторами

где

Если интегралы (29.1.15) момента количеств движения выразить через они приним изящную форму. Момент количеств движения относительно оси записывается в виде

Интегралы момента количеств движения (29.1.15) тогда принимают следующую форму:

Поскольку центр масс движется равномерно и прямолинейно, слагаемые и сами по себе сохраняют постоянные значения. В этом нетрудно убедиться и непосредственно. В самом деле, имеем

но это равно нулю, поскольку оператор

обращает величины в нуль.

Описанный выше процесс позволяет существенно упростить задачу трех тел. Ее теперь можно трактовать как задачу двух тел, из которых одно имеет массу и расположено в точке а другое имеет массу и расположено в точке Действующие на тела силы обладают потенциалом где определяется формулой (29.10.5). Хотя силы и не направлены вдоль линии, соединяющей частицы, тем не менее главный момент этих сил относительно начала координат

равен нулю, и, следовательно, момент количеств движения системы относительно начала координат сохраняет постоянное значение.