Глава XXVIII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

§ 28.1. Задача трех тел.

Задача трех тел принадлежит к числу наиболее известных проблем классической динамики. В ней рассматривается движение трех частиц в пространстве под действием сил взаимного притяжения и требуется определить их положения в любой момент времени, если в момент заданы их координаты и скорости. Изучение этой задачи оказало огромное влияние на развитие всей динамики. Многие из наиболее важных результатов этой науки в большей или меньшей степени связаны с задачей трех тел.

Решение задачи двух тел, кратко изложенное в § 5.4 и далее, представляет одно из самых больших достижений ньютоновой механики. В указанном выше смысле эту задачу можно считать полностью решенной, т. е. мы можем определить положения частиц в любой момент времени, если известны координаты этих частиц и их скорости в момент Что же касается задачи трех тел, то ее нельзя считать решенной в этом смысле. Однако для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с весьма высокой степенью точности. Небесные тела приближенно можно считать имеющими сферическую форму со сферически симметричным распределением массы; взаимное притяжение таких тел таково же, как у частиц, расположенных в их центрах. Если в качестве трех тел рассматриваются Солнце и две планеты, то основным упрощающим условием является то, что массы планет малы по сравнению с массой Солнца, так что членами третьего порядка относительно обычно можно пренебречь. (Например, масса Земли составляет менее чем массы Солнца.) Если же рассматривается движение Солнца планеты и ее спутника то отношения всегда малы и, кроме того, мало, хотя порядок малости последнего отношения и отличается от порядка малости (Например, масса Луны составляет около 1/80 массы Земли.) Другое обстоятельство, облегчающее построение приближенных решений, заключается в том, что эксцентриситет планетных орбит, как правило, весьма мал (для орбиты Земли он составляет приблизительно 1/60).

В предыдущих главах мы пробовали применить два подхода к решению задачи трех тел. В § 17.10 рассматривалось движение планеты в поле двух притягивающих центров. Если считать, что это движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через притягивающие центры, то можно, как мы видели, дать исчерпывающую классификацию траекторий. Более того, можно найти уравнения траекторий, выразив их через эллиптические функции. Трудности, с которыми мы сталкиваемся в этой сравнительно простой задаче, дают представление о сложности проблемы в общем случае. В § 25.3 мы рассматривали вариации эллиптических элементов. При этом сначала изучалось движение одной планеты относительно Солнца, а затем рассматривались те возмущения, которые обусловлены наличием второй планеты. Второй этап в этих рассуждениях не носил характера самостоятельной задачи: возмущенное движение рассматривалось как непрерывное видоизменение исходного эллиптического движения. Этот метод эффективен, поскольку массы планет весьма малы по сравнению с массой Солнца.