§ 6.5. Консервативные системы и другие системы, обладающие потенциальной функцией.

Предположим, что заданные силы зависят только от и не зависят ни от х, ни от t и что для любого виртуального

перемещения бас форма Пфаффа является полным дифференциалом где V — однородная функция от переменных принадлежащая классу В этом случае заданные силы называют консервативными (см. § 3.4), а функцию V — потенциальной энергией. Предположим, далее, что соотношения между не содержат t. Тогда

и

где

Четвертая форма основного уравнения (6.1.12) принимает следующий вид:

Уравнения Лагранжа (6.2.1) и (6.2.2), соответственно для голономных и неголономных систем, записываются теперь в виде

В некоторых случаях кроме консервативных сил имеются еще другие силы К их числу могут относиться, например, неконсервативные силы, зависящие от положения, или силы, зависящие от скоростей. Если, подобно (6.1.10),

так что работа добавочных сил на виртуальном перемещении равна то уравнение (6.5.4) нужно заменить уравнением

охватывающим формы (6.1.12) и (6.5.4). Уравнения Лагранжа, соответственно для голономных и неголономных систем, принимают теперь вид

Форма (6.5.4) справедлива также и в других случаях. Предположим, что заданные силы зависят как от так и от , а соотношения, связывающие также содержат

Может случиться (см. § 3.4), что для некоторого произвольного виртуального перемещения

где дифференциал в правой части вычисляется при неизменном 1:

Если теперь

то будем иметь

и

где вычисляется при неизменном t. В этом случае уравнение (6.5.4) остается справедливым.

Наиболее простым и часто встречающимся случаем является тот, когда 1) соотношения между не содержат заданные силы консервативны и 3) система голономна, и лагранжевы координаты выбраны так, что . В этом случае

и коэффициенты зависят только от Последнее справедливо также и для и уравнение (6.5.4) выполняется для произвольных значений Такая система называется натуральной системой.