§ 17.14. Системы, допускающие разделение переменных более чем одним способом.

Как уже отмечалось в § 17.1, свойство разделимости переменных определяется как самой динамической системой, так и принятыми для ее описания лагранжевыми координатами. В некоторых задачах может случиться, что, выбирая по-разному лагранжевы координаты, мы получим несколько случаев разделения переменных для одной и той же динамической системы.

Простым примером может служить задача о ньютоновых орбитах, т. е. задача о плоском движении частицы под действием притяжения к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Разделение переменных можно осуществить, воспользовавшись полярными координатами с началом в притягивающем центре (§ 16.9). Тот же самый результат мы получаем, если используем параболические координаты. (См. § 17.9, где рассмотрен случай движения в поле притяжения к центру с наложенным на него однородным полем. В этом случае, как мы видели, система допускает разделение переменных в параболических координатах. Ясно, что это свойство сохраняется и при отсутствии однородного поля.) Имеется еще и третья возможность разделения переменных — выбор конфокальных (эллипсоидальных) координат. В самом деле, чтобы получить задачу о ньютоновом притяжении к одному центру, достаточно в формулах § 17.10 положить

Решение в полярных координатах уже рассматривалось нами в примере более подробно мы на нем остановимся в § 18.12 и далее. Рассмотрим решение в параболических координатах. Имеем

Система относится к тилу (17.2.13), причем

Функции имеют вид

где с Рассмотрим случай, когда движение не есть движение вдоль прямой, проходящей через точку О. Пусть скажем, тогда с и к положительны и с Дифференциальное уравнение орбиты имеет вид

Если ввести параметры связанные с и формулами

то уравнение (17.14.4) примет вид и выражение будет постоянным. Положим

причем х не равно нулю и не кратно (в противном случае движение совершалось бы по прямой, проходящей через точку О). Таким образом,

Учитывая формулы

находим

Уравнение орбиты записывается теперь так:

или поскольку

Уравнение (17.14.11) эквивалентно соотношению

в котором обозначает длину перпендикуляра, опущенного из точки х, у на линию

Для точек, лежащих по одну сторону от с точкой О, знак берется положительный. Параметр определяется из формулы

Орбита представляет собой эллипс с фокусом в точке О и директрисой .