§ 9.2. Теория преобразования к главным координатам.

До сих пор лишь предполагалось, что преобразование к главным координатам существует, в настоящем параграфе мы дадим доказательство существования этого преобразования.

Напомним, что матрицы суть вещественные симметричные матрицы, ассоциированные с определенно-положительными квадратичными формами. Уравнение относительно

называется уравнением периодов. Все его корни вещественны и положительны. В самом деле, если корень уравнения (9.2.1), то существует ненулевой вектор (матрица-столбец) такой, что

Отсюда получаем

(вектор получается из заменой каждой его составляющей комплексно-сопряженной величиной). Это соотношение показывает, что вещественны и положительны. Корни уравнения периодов являются собственными значениями, а вектор удовлетворяющий уравнению (9.2.2), — собственным вектором, соответствующим собственному значению Так как число вещественное, то и вектор можно считать вещественным, что мы всегда и будем предполагать в дальнейшем. Положительный квадратный корень из собственного значения обозначим через .

Докажем теперь теорему о том, что существует действительное неособое преобразование, приводящее к суммам квадратов. Применим метод индукции: считая теорему верной для переменных, докажем справедливость ее для переменных.

Возьмем какое-нибудь собственное значение обязательно простой корень уравнения периодов), и пусть гц будет соответствующим вещественным ненулевым собственным вектором, так что

Тогда единственное однородное уравнение

будет иметь линейно независимых решений, скажем Пусть будет матрицей, первый столбец которой составлен из компонент вектора а остальные столбцы — из компонент векторов

Матрица неособенная, и матрица имеет вид

Действительно, элемент первой строки при равен элемент первого столбца при равен и оба эти элемента равны нулю.

Аналогичное утверждение справедливо и в отношении матрицы так как

то

Таким образом,

Матрицы являются матрицами определенно-положительных форм (полученных из форм с матрицами при первой переменной, взятой равной нулю). Согласно нашей гипотезе, существует неособенная матрица такая, что матрицы являются диагональными. Если обозначить

где матрица вида

то преобразование

приведет к сумме квадратов. В самом деле,

и

а это есть диагональная матрица А:

Точно так же

где -диагональная матрица

и

Таким образом, приводятся к виду

Здесь главные координаты.

Из доказанной теоремы получаем важные следствия.

1) Как уже отмечалось, уравнения движения можно представить в форме

Это суть уравнения Лагранжа, составленные по в форме (9.2.20).

Уравнения движения (9.2.21) можно представить и в ином виде. Запишем их в матричной форме (9.1.12):

где - вектор, или матрица-столбец Посредством преобразования (9.2.13) получаем

и так как

то из (9.2.23) следует, что

Поскольку матрица неособенная, это эквивалентно уравнению

которому соответствуют уравнений (9.2.21).

2) Существует линейно независимых собственных векторов, причем каждому корню кратности к уравнения периодов (9.2.1) соответствует к таких векторов. Обозначая через столбец матрицы 8, находим из (9.2.24)

Следовательно, определяемый по формуле

удовлетворяет уравнению

при всех Так как векторы (столбцы неособенной матрицы линейно независимы, из уравнения (9.2.29) следует, что

для всех х. В частности,

откуда получаем (поскольку действительный вектор), что Таким образом,

так что столбцами матрицы являются линейно независимых собственных векторов.

Уравнение (9.2.1) и уравнение

имеют одни и те же корни; они равны диагональным элементам матрицы а именно Поэтому, если, например, корень имеет кратность к, то соответствующие к столбцов матрицы 8 образуют систему линейно независимых собственных векторов, отвечающих -кратному собственному значению.

Из (9.2.24) следует, что если нормировать собственные векторы так, чтобы

то каждое будет равно единице и выражения для примут форму (9.1.22).

3) Найденные описанным выше способом линейно независимых собственных векторов удовлетворяют условиям ортогональности:

Заметим, что между задачами, в которых корни уравнения периодов простые, и задачами, в которых эти корни кратные, имеется существенная разница.

Решим теперь задачу другим способом, основывая решение не на алгебре квадратичных форм, а на уравнениях движения. Если корни уравнения периодов простые, то уравнение (9.2.2) определяет собственные значения единственным образом с точностью до скалярного множителя; условия ортогональности (9.2.34), (9.2.35) при этом выполняются автоматически.

В самом деле, из (9.2.2) следует, что

и аналогично

В силу симметричности матриц имеем

и из (9.2.36), (9.2.37) получаем

Условие (9.2.34) вытекает из (9.2.39), поскольку а условие (9.2.35) — из (9.2.37). Точно так же доказывается, что в любом случае, независимо от кратности корней уравнения периодов, два собственных вектора, соответствующих различным собственным значениям, всегда удовлетворяют условиям (9.2.34), (9.2.35).

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение периодов имеет кратные корни. Если есть -кратный корень, то к линейно независимых собственных векторов построенных по решениям уравнения

не обязательно удовлетворяют условиям (9.2.34), (9.2.35). Однако по заданной системе векторов можно с помощью известного процесса построить ортогональную систему Для этого положим

где

Система удовлетворяет условиям ортогональности. Практически векторы строятся последовательно: если векторы где уже построены, то в качестве можно взять любое решение уравнения (9.2.40), удовлетворяющее условию

4) Если уравнение периодов имеет лишь простые корни, то главные координаты входящие в (9.1.22), определяются с точностью до знака. Если же уравнение периодов имеет кратные корни, то это утверждение перестает быть справедливым. Например, если то могут быть приведены к виду

и мы по-прежнему будем иметь главные координаты, если заменим на переменные по формулам