§ 18.8. Постоянные ...

Общий характер движения определяется распределением вещественных нулей функций что в свою очередь зависит от значений постоянных Хотя для определения траектории необходимо задать параметров однако задание одних лишь постоянных а уже позволяет определить общий характер траектории. Это обстоятельство уже отмечалось нами при исследовании двумерной задачи, где указывалось на существенную роль постоянных а (§ 17.4). В -мерной задаче постоянная зависит лишь от выбора начала отсчета времени, а фазовые постоянные не оказывают влияния на пределы либрации и, следовательно, не сказываются на общем характере движения.

Рассмотрим теперь частоты Их значения определяются постоянными В самом деле, где матрица, обратная матрице и величины

будут определены, коль скоро известны параметры а и, стало быть, пределы либрации по координате Поэтому элементы матриц и являются известными функциями а, и, в частности, частоты являются известными функциями а. Возникает вопрос: в какой мере задание начальных условий определяет частоты? В частности, возможны ли такие движения динамической системы, когда частоты пропорциональны целым числам? Иными словами, существуют ли периодические движения?

Чтобы ответить на эти вопросы, введем вместо а новые постоянные Постоянную примем равной приращению функции когда координата проходит полный цикл своих значений. Таким образом,

Введенные постоянные I образуют новую систему параметров, зависящих от первоначальных параметров а; из равенства (18.8.1) следует, что

Представив а как функции будем иметь

и, в частности,

Постоянная как можно было ожидать, играет здесь особую роль: а есть постоянная энергии.

Таким образом, мы приходим к следующему простому правилу для квазипериодических движений систем типа Штеккеля: если постоянная энергии выражена через параметры I, то частоты системы определяются как частные производные

В общем случае следует ожидать, что уравнения (18.8.5) при заданных (по крайней мере при заданных в некоторой области) могут быть решены

относительно Это означает, что при надлежащем выборе начальных условий мы можем придать частотам системы любые значения. В общем случае это утверждение справедливо, однако имеется важное исключение.

Может оказаться, что будет зависеть от линейной комбинации параметров т. е. где

а коэффициенты являются фиксированными абсолютными постоянными. В этом случае, каковы бы ни были начальные условия, справедливы равенства

Эти формулы раз навсегда определяют отношения частот друг к другу, и эти отношения нельзя изменить никаким выбором начальных условий. Тем самым устанавливается определенная степень вырождения системы. В частном случае, когда отношение двух любых коэффициентов к есть число рациональное, движение всегда является периодическим; при этом между коэффициентами к существуют линейных соотношений

с целыми В другом частном случае, когда между к не существует ни одного соотношения типа (18.8.8), движение системы никогда не будет периодическим (за исключением главных колебаний в колебательных системах). В промежуточном случае, когда имеется независимых линейных соотношений (18.8.8), причем степень вырождения системы не зависит от начальных условий.

В § 17.3 были приведены два примера подобных явлений.

1) В теории малых колебаний где

движение всегда периодично, когда отношение любой пары значений есть число рациональное, и никогда не периодично (за исключением главных колебаний), если между не существует линейного однородного соотношения с целыми коэффициентами. Действительно, в этом случае зависит от комбинации следовательно,

2) Второй пример относится к движению планеты в пространстве под действием ньютоновского притяжения к центру. Вопрос о том, почему орбита (если она ограничена) должна быть всегда периодической, возник в начале изучения общих динамических систем. В этой задаче параметр зависит от и, следовательно, каковы бы ни были начальные условия, будем иметь

Другой особый случай мы имеем, когда зависит не от одной линейной формы а от независимых линейных форм

где При этом связаны независимыми линейными соотношениями

Если коэффициенты рациональны, то коэффициенты также рациональны и можно считать их целыми числами. Тем самым устанавливается степень вырождения системы независимо от начальных условий.