§ 30.12. Доказательство теоремы Пуанкаре о кольце.
Приведем теперь доказательство теоремы, сформулированной в § 30.10. Отобразим кольцо 
на полосу 
плоскости 
с помощью уравнений
Преобразование 
сохраняет меру и в новых переменных. Полагая
замечаем, что при 
а при 
Если полосу разбить на прямоугольники линиями 
целое число), то получится периодическая структура, так как конгруэнтные точки различных прямоугольников отвечают одной и той же точке кольца.
Докажем прежде всего, что преобразование 
имеет одну неподвижную точку.
В этом доказательстве используются все три условия § 30.10; если хотя бы одно из них не выполняется, теорема может оказаться неверной. Проиллюстрируем это на примере преобразования, при котором сначала каждая концентрическая окружность поворачивается в положительном направлении, если 
и в отрицательном, если 
а затем точки этих окружностей смещаются радиально вовне. В качестве конкретного примера можно взять
где 
Это преобразование не имеет неподвижной точки, поскольку 
если 
только 
не равно 
и если 
Если точку с координатами х, у обозначить через 
а точку с координатами х, у — через 
то равенство (30.12.2) можно записать в форме 
Приступая к доказательству, предположим, что преобразование
не имеет неподвижной точки, и покажем, что это предположение приводит к противоречию. Обозначим вектор 
через 
величина его равна 
а угол, составляемый им с осью 
равен 
Поскольку преобразование не имеет неподвижной точки, величина 
имеет положительную нижнюю грань 
Угол 
определен по 
на нижней границе полосы 
имеет значение 
а на верхней границе полосы 
угол 
равен 
, где 
— целые числа. Без ущерба в общности можно принять, что для всех точек прямой 
При этом угол 
будет определен в силу непрерывности для всех точек полосы 
, и функция 
будет однозначной и непрерывной функцией своего аргумента. В частности, число 
имеет одно и то же значение для всех точек прямой 
Рассмотрим два пути 
соединяющие точку на прямой 
с точкой на прямой 
Предположим, что каждый из этих путей пересекает любую из прямых 
только в одной точке. Переведем эти пути друг в друга непрерывной деформацией, перемещая соответствующие точки по горизонтали. Приращение функции 
при перемещении точки 
вдоль кривой от 
до 
изменяется непрерывно, и, следовательно, значение 
на прямой 
при непрерывной деформации не может измениться скачком от одного нечетного кратного значения и до другого.
Фактически мы имеем 
значение функции 
во всех точках 
равно 
. Это является основным пунктом всего доказательства.
Рис. 124.
Чтобы показать, что 
совершим преобразование 
отличающееся от преобразования 
последующим вертикальным перемещением 
где 
Это преобразование сохраняет площадь и не имеет неподвижной точки, оно переводит полосу 
в полосу 
Преобразование 
переводит прямую 
в прямую 
задаваемую уравнением 
прямую 
оно переводит в кривую 
нигде не пересекающую 
(рис. 124). Полоса 
между 
отображается на полосу 
между 
Кривые 
периодически повторяются в каждом единичном интервале по координате у, и площадь полосы 
между прямыми 
равна 
Площадь (в интервале 
под кривой 
равна 
так что для достаточно больших целых 
кривая 
должна иметь точки, расположенные над прямой 
Пусть 
наименьшее целое число, обладающее таким свойством. Тогда можно указать точку 
на прямой 
такую, что 
окажется либо на прямой 
либо выше ее.
Рассмотрим теперь прямую, соединяющую точку 
на прямой 
с точкой 
на прямой 
Преобразование 
переводит точки этого отрезка в точки дуги, расположенной в полосе 
и соединяющей точку прямой 
с точкой линии 
Эта дуга переводится преобразованием 
в дугу, лежащую в полосе 
. В результате получаем простую кривую 
соединяющую точку 
на прямой 
с точкой 
лежащей на прямой 
или выше ее.
Рассмотрим теперь поведение функции 
при перемещении точки 
вдоль кривой 
от 
до 
Если 
мало, то функция 
мала и положительна, когда точка 
занимает положение 
и имеет значение, близкое к 
, когда 
занимает положение 
Рассмотрим изменение наклона хорды, соединяющей точки 
при перемещении точки 
вдоль кривой 
При этом на каждом этапе нижний конец хорды располагается в полосе 
а верхний конец — в полосе 
или нижний конец — на линии 
а верхний конец — на линии 
Изменение наклона хорды можно определить в два этапа следующим образом. На первом этапе нижний конец хорды фиксирован в точке 
а верхний конец 
перемещается из положения 
в положение 
На втором этапе верхний конец хорды фиксирован в точке 
а нижний конец 
перемещается из положения 
в положение 
На каждом из этих этапов приращение наклона хорды не превышает 
, суммарное приращение поэтому не превышает 
так что число 
может быть равно только нулю. Таким образом, для точек прямой 
, что и требовалось доказать.
Аналогичным образом, рассматривая обратное преобразование 
можно доказать, что изменение наклона хорды, соединяющей точки 
при перемещении точки 
от 
до 
равно 
. Но изменение наклона хорды, проведенной из 
в точности равно изменению наклона хорды, проведенной из 
Мы пришли, таким образом, к противоречию, которое указывает, что предположение об отсутствии неподвижных точек неверно.
Для доказательства существования двух неподвижных точек достаточно заметить, что изменение функции 
при обходе точкой 
единичной окружности равно нулю. С другой стороны, если точка 
обходит простой замкнутый контур, охватывающий одну неподвижную точку, то изменение функции 
составляет 
(§ 20.1). Поэтому внутри единичного круга расположены по крайней мере две неподвижные точки.
