§ 16.5. Замечания по теореме Гамильтона — Якоби.

Эта изящная теорема, доказанная в §§ 16.2 и 16.4, имеет фундаментальное значение как для теории, так и для приложений. До сих пор, исследуя динамическую систему какого-либо частного вида, мы составляли уравнения движения, после чего задача сводилась к интегрированию этих уравнений. Совершенно иначе обстоит дело в методе Гамильтона — Якоби. Как только найден один полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, сразу могут быть написаны интегралы уравнений движения. Вопрос заключается лишь в том, насколько просто может быть найден: полный интеграл. Однако, как будет показано, для большей части задач классической механики нахождение полного интеграла не вызывает каких-либо затруднений.

Прежде чем переходить к решению конкретных задач, укажем некоторые классы динамических систем, для которых решение упрощается. Это, прежде всего, случай, когда функции не зависят явно от

и существует интеграл энергии

Чтобы получить полный интеграл, положим

где одна из произвольных постоянных, функция от в которую входят других произвольных постоянных Уравнение Гамильтона в частных производных записывается теперь в форме

и требуется построить полный интеграл этого уравнения, содержащий новых произвольных постоянных, ни одна из которых не является аддитивной. Интегралы уравнений движения запишутся в виде

где написано вместо

Решение, как мы видим, представляется в исключительно простой форме. Уравнения (16.5.6) определяют траекторию в -пространстве, не определяя скорости перемещения по ней, а уравнение (16.5.5) дает связь между положением на траектории и временем. Решение задачи Лагранжа разбивается, таким образом, на два этапа. Уравнения (16.5.7) заканчивают решение задачи Гамильтона.

Постоянная определяется значением (сохраняющейся) энергии системы, а постоянная зависит исключительно от выбора начала отсчета времени t.

Большинство систем, встречающихся в приложениях, консервативны, и поэтому теорема Гамильтона — Якоби чаще всего применяется в указанной выше форме. Практически обычно начинают не с дифференциального уравнения Гамильтона, а с модифицированного уравнения в частных производных (16.5.4).

Далее, если не содержит явно t и если одна из координат, скажем является циклической, то можно произвести дальнейшее упрощение. Положим в равенстве (16.5.3)

где К зависит от от от и от остальных произвольных постоянных Координата не входит в и функция К является полным интегралом уравнения

Интегралы гамильтоновых уравнений движения имеют вид

(здесь обозначено через Постоянная определяется, очевидно, значением (сохраняющегося) импульса, соответствующего циклической координате а постоянная зависит лишь от выбора начала отсчета координаты Значение в момент t нас обычно не интересует, и уравнение (16.5.12) поэтому не рассматривается.

Наконец, часто К удается представить в виде суммы функций, каждая из которых зависит лишь от одной координаты (и, разумеется, от постоянных а или части их). Если для уравнения (16.5.4) существует полный интеграл такого вида, то говорят, что система допускает разделение выбранных координат. К таким системам относятся почти все системы элементарной динамики. Возможность разделения переменных зависит как от самой системы, так и от выбранных для ее описания лагранжевых координат.