§ 21.14. Приложение к дифференциальным уравнениям.

Вернемся к системе дифференциальных уравнений (21.1.1): Эта система автономна. Как и в § 21.11, будем считать начало координат особой точкой. Движение, определяемое этими дифференциальными уравнениями, можно представить с помощью преобразования, осуществляемого оператором (§ 21.3):

где а есть значение х в момент Фиксируя положительное значение переменной получаем преобразование которое имеет неподвижную точку О. Как было показано, для исследования устойчивости можно выбрать дискретные значения Поэтому устойчивость равновесия в точке О — это то же самое, что устойчивость преобразования аналогичное заключение можно сделать и относительно асимптотической устойчивости, а также относительно неустойчивости.

Рассмотрим линейное приближение к дифференциальным уравнениям

При этом мы получим подтверждение найденных выше результатов.

Соответствующее линейное преобразование имеет вид

Матрица В задается формулой (см. (21.10.3))

Если собственное значение матрицы то соответствующее собственное значение матрицы В равно Рассматривая случай, когда матрицы могут быть приведены к диагональной форме, и обозначая вещественную часть через можно выразить условия устойчивости (неустойчивости) через или

Устойчивость: для всех значений Асимптотическая устойчивость: для всех значений Неустойчивость: для некоторого значения Эти результаты нами уже были получены раньше, в § 21.11 и в § 21.13. Если матрицу А не удается диагонализовать, то исследование усложняется. Как мы видели, в этом случае выполнения условия (или, что то же, для всех уже недостаточно для того, чтобы гарантировать устойчивость: кратные чисто мнимые собственные значения могут привести к неустойчивости. Но другие условия остаются без изменений. Если (или все то имеем асимптотическую устойчивость; если хотя бы одно значение (или одно то имеем неустойчивость. Доказательство см. ниже, в § 23.3.