§ 25.9. Интегралы, линейные относительно импульсов.
Если среди лагранжевых координат, описывающих динамическую систему, имеется циклическая координата (скажем, 
то соответствующий импульс 
при движении сохраняет свое значение неизменным. Докажем, что, и обратно, любая автономная система, имеющая пространственный интеграл, линейный относительно импульсов, при надлежащем выборе лагранжевых координат может быть описана как система с циклической координатой.
Пусть известный интеграл задается выражением
где 
известные функции от 
Доказательство теоремы связано с построением расширенного точечного преобразования переменных 
в переменные 
при котором
Возможность построения такого преобразования определяется в свою очередь свойствами линейных уравнений первого порядка в частных производных.
Рассмотрим уравнения
определяющие семейство кривых в 
-пространстве. Решения этих уравнений можно определить как линии пересечения интегральных поверхностей, соответствующих 
независимым интегралам уравнения в частных производных
Введем для этих интегралов обозначения
и рассмотрим точечное преобразование
в котором первые 
функций 
являются функциями (25.9.5).
Остается определить функцию 
Выберем 
таким образом, чтобы при движении вдоль одной из интегральных кривых, определяемых уравнениями (25.9.3), выполнялись соотношения
Можно, например, взять в качестве 
интеграл уравнения
где через 
обозначена функция записанная в переменных 
Отметим, что функция 
является интегралом уравнения в частных производных
Предположим теперь, что преобразование (25.9.6) обратимо и переменные 
можно выразить через переменные 
в соответствующей области 
-простр анств а:
При этом
Последнее следует из того, что функции 
удовлетворяют уравнению (25.9.4), 
уравнению (25.9.9). Геометрически это ясно из системы (25.9.7), если рассмотреть движение вдоль одной из интегральных кривых системы (25.9.3); при таком движении 
остаются постоянными.
Теперь уже легко доказать теорему. Рассмотрим расширенное точечное преобразование (24.4.6):
В новых переменных будем иметь
так что величина 
при движении остается постоянной, и, стало быть, соответствующая координата 
является циклической, что и требовалось доказать.
