постоянным и их отношение 
Или, иначе, из равенства (21.7.17) имеем
отсюда следует, что
3) Если 
то 
является множителем; сам объем х-пространства представляет собой интегральный инвариант. (Это справедливо также и для неавтономных систем, в которых 
Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют множители, имеет простой вид:
так что множители представляют собой не что иное, как пространственные интегралы. К этому результату можно прийти и другим путем. Если 
пространственный интеграл, то он сохраняет свое значение вдоль траектории, и так как 
то и V сохраняет свое значение вдоль траектории. Поэтому остается постоянным и произведение 
откуда следует, что выражение 
представляет собой интегральный инвариант.
4) Если 
то множители являются интегрирующими множителями уравнения
В самом деле, интегрирующие множители 
удовлетворяют уравнению
а это уравнение совпадает с уравнением для множителей.
В частности, если 
то единица является множителем и одновременно интегрирующим множителем, т. е. выражение 
есть полный дифференциал 
Функция является функцией тока Лагранжа; она играет важную роль в изучении плоских течений несжимаемой жидкости.
5) Рассмотрим преобразование к новым переменным 
введенное нами в § 21.2.
В уравнениях преобразования
функции 
принадлежат к классу 
в области 
пространства 
якобиан
в области 
не обращается в нуль. Преобразование устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью 
пространства х и областью 
пространства у.
Докажем, что если 
является множителем для исходной системы, то 
является множителем преобразованной системы. Штрих здесь указывает на то, что выражение дается в новых переменных 
Эту теорему нетрудно доказать непосредственным вычислением 
однако значительно проще воспользоваться развитым выше гидродинамическим представлением. Мы видели, что соответствие существует не только между
двумя пространствами, но и между двумя движениями (§ 21.2). Изображающие точки 
в этих двух пространствах занимают соответствующее относительное положение в момент 
двигаясь вместе с соответствующими жидкостями, сохраняют это взаимное положение в течение всего времени. В силу этого из (21.7.18) имеем
где штрихи указывают на то, что выражения даются в переменных 
Теорема, таким образом, доказана.
в правых частях уравнений (21.1.1) не зависят от t. Доказанные выше положения позволяют вывести ряд важных свойств автономных систем.
есть явное выражение для удельного объема V, то 
представляет собой множитель.
то их отношение 
представляет интеграл системы дифференциальных уравнений. Это следует из того факта, что оба выражения 
и 
остаются вдоль траектории постоянными (см. (21.7.18)), следовательно, остается
