Глава VI. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

§ 6.1. Четвертая форма основного уравнения. Лагранжевы координаты.

Следующим нашим шагом будет представление основного уравнения в лагранжевых координатах: первую форму (3.1.1) основного уравнения мы запишем в переменных вместо переменных х. Характерным свойством лагранжевых координат является то, что переменные х могут быть представлены как явные функции от Мы постоянно будем предполагать, что эти функции принадлежат классу в соответствующей области изменения Поскольку

имеем

т. е. производные связаны с линейными соотношениями, коэффициенты в которых зависят от

Две следующие леммы выражают простые свойства функций в правых частях равенств (6.1.2).

Лемма 1.

Лемма 2.

Первое равенство очевидно, для доказательства второго заметим, что

Порядок дифференцирования можно менять, поскольку в области

Если из (6.1.2) подставить в формулу кинетической энергии

то получим полином второй степени относительно с коэффициентами, зависящими от Полином может быть представлен в форме

где обозначает однородную квадратичную функцию от

— однородную линейную функцию от

является функцией от Нетрудно видеть, что, отбрасывая слагаемое в правой части формулы (6.1.2), мы приходим к выражению для совпадающему с Поэтому представляет собой определенно-положительную квадратичную форму от при всех значениях Выражение неотрицательно для всех значений

Обратимся теперь к основному уравнению (3.1.1). Для виртуальных перемещений имеем

и уравнение (3.1.1) приобретает вид

Преобразуем выражение . С помощью лемм (6.1.3) и (6.1.4) получаем

Коэффициент при в уравнении (6.1.8) получается равным

где

Но выражение (6.1.9) теперь имеет вид

и окончательно получаем

Это четвертая форма основного уравнения.

Укажем физический смысл величин Сумма

выражает работу, совершаемую заданными силами на виртуальном перемещении Величины называются обобщенными силами.