§ 10.10. Движение снаряда.

В задаче о маятнике Фуко мы считали поскольку изменение координаты z было мало. Этим выражением для V можно пользоваться в некоторых случаях и тогда, когда движение имеет больший масштаб, например при изучений движения снаряда. Однако в этом случае это приближение будет более грубым. Для более точного расчета произведем сравнительную оценку членов, которыми мы пренебрегли в первом приближении, и найдем те из них, которые играют существенную роль. Как и ранее, Землю будем считать шаром, скорость вращения ее — постоянной и центр ее — неподвижным. Мы уже указывали, что мало . Имеем (§ 10.7)

где

Рис. 35.

Массу снаряда мы для удобства приняли равной единице. Пользуясь обозначениями рис. 35, направляя ось вдоль радиуса Земли и обозначая расстояние тела от центра Земли С через а расстояние его от точки О через можем написать

Члены вносят, таким образом, в функцию следующее выражение:

где Членами порядка мы пренебрегли.

Линейные члены в выражении (10.10.4) равны, очевидно, — как и ранее, выбрана, вдоль линии отвеса). Кроме того,

где

поскольку

Таким образом, приближенное (с точностью до членов порядка ) значение равно

и, стало быть, как функции от , имеют один и тот же порядок малости. Связь между малыми величинами иллюстрируется на рис. 35.

Члены второго порядка в выражении (10.10.4) после перехода к осям запишутся в виде

где Это выражение можно записать еще в форме

Отбрасывая таены второго порядка в выражениях для получаем

Члены третьего порядка в пределах принятой степени точности остаются неизменными при изменении осей, и мы имеем

Собирая все члены, окончательно получаем

Отсюда находим уравнения движения

Полученные уравнения имеют скорее теоретический, нежели практический интерес, поскольку описывают движение снаряда в пустоте. Сопротивление воздуха оказывает на движение снаряда значительно большее влияние, чем введенные выше малые поправки.

1) Первое приближение, при котором не учитывается вращение Земли и гравитационное поле принимается однородным, приводит к элементарной параболической теории полета снаряда. Уравнения движения в этом случае имеют простой вид:

Если в момент снаряд вылетает из начала координат со скоростью то решение имеет вид

2) Во втором приближении учитываются члены порядка со, а другие малые члены отбрасываются. При этом получаем

Это — классические уравнения, описывающие движение снаряда относительно вращающейся Земли. Интегрирование уравнений (10.10.18) — (10.10.20) производится достаточно просто. Однако следует помнить, что они приближенные и потому решение их описывает движение лишь с точностью до величин порядка и или, если формула их не содержит, то с точностью до наинизшей степени

Прежде чем приступить к интегрированию, отметим еще одно обстоятельство. Форма уравнений позволяет произвести замену независимой переменной и от t перейти к При этом со исключается из уравнений, кроме слагаемого Решение дает нам х, у, z как функции от и формулы будут содержать в качестве линейных множителей параметры равные соответственно Переменная безразмерна, а каждый из параметров имеет размерность длины.

Перейдем теперь к решению уравнений (10.10.18) — (10.10.20). Из уравнений (10.10.18) и (10.10.20) имеем

Подставляя эти выражения для в уравнение (10.10.19), получаем дифференциальное уравнение относительно у:

Отсюда

Подставляя теперь найденное у в уравнения (10.10.21) и интегрируя, получаем окончательное решение, выраженное через

где

Старшие члены в выражениях для равны соответственно

Рассмотрим два частных случая:

а) Если не все равны нулю, то, сохраняя члены порядка со и пренебрегая членами более высокого порядка, получаем более точное решение, чем (10.10.17):

При сравнительно небольших значениях t эти формулы дают вполне достаточную степень точности для большей части приложений. Решение можно выразить также через переменную

Рассмотрим теперь другой способ получения решения (10.10.26), справедливый с точностью до членов порядка Уравнение движения в векторной форме имеет вид

Чтобы найти приближенное решение, справедливое с точностью до членов порядка поступим следующим образом. Отбросив в уравнении (10.10.28) члены порядка будем иметь

Если при то после интегрирования получим

Пренебрегая здесь членами порядка , находим первое приближение:

Чтобы найти второе приближение (а это как раз нам и требуется), подставим выражение (10.10.31) в отброшенный нами малый член в уравнении (10.10.30). Таким образом, с точностью до членов порядка будем иметь

Окончательно получаем

Полагая видим, что решение (10.10.33) эквивалентно решению (10.10.26).

б) Если частица начинает движение из состояния покоя (начало координат мы помещаем над поверхностью Земли), так что все равны нулю, то главные члены решения имеют вид

Как и следовало ожидать, наиболее существенным оказывается отклонение от вертикали к востоку. В самом деле, поскольку

отклонение к югу мало по сравнению с отклонением к востоку.

3) Вернемся теперь к уравнениям (10.10.15) и произведем сравнительную оценку различных членов, которыми мы пренебрегли в п. 2. Выясним, какие из этих членов наиболее существенны для более точного расчета. Для этого необходимо определить численные значения различных коэффициентов. Рассмотрим более подробно первое уравнение и по-прежнему будем считать (так что будет приближенно равно 6). Имеем

Что касается последнего члена в правой части первого уравнения (10.10.15), то коэффициент при х равен и даже если z имеет порядок одной мили (так что ), то и тогда этот коэффициент равен всего лишь около

Итак, можно заключить, что для более точного расчета самым важным является первый член в правой части, а именно он важнее, чем члены порядка члены, содержащие или члены порядка Аналогичные замечания можно сделать и в отношении второго и третьего уравнений (10.10.15). Таким образом, уравнения третьего приближения для задачи о полете снаряда запишутся в следующем виде:

где