Глава XXVI. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ

§ 26.1. Принцип Гамильтона.

Простейший из вариационных принципов динамики — принцип Гамильтона — уже был установлен нами в § 3.7. Этот принцип допускает формулировку в любых координатах, в § 6.3 мы выразили его в лагранжевых координатах и вывели из него лагранжевы уравнения движения.

Напомним формулировку принципа Гамильтона. Будем определять положение системы лагранжевыми координатами причем выберем наименьшее возможное значение Если система голономна, то где к, как обычно, обозначает число степеней свободы системы. Если же система неголономна, то где I — число независимых неинтегрируемых связей. Принцип Гамильтона утверждает, что

где символ обозначает перемещение из точки на истинной траектории в -пространстве в точку на варьированной траектории, причем оба положения соответствуют одному и тому же моменту времени. Таким образом, представляет собой виртуальное перемещение в момент t. Вариации как функции от t принадлежат к классу и обращаются в нуль в моменты Следовательно, точки фиксированы в -пространстве. Напомним, что для неголономной системы варьированный путь в общем случае не является геометрически возможным путем, т. е. в общем случае он не удовлетворяет уравнениям связей (§ 3.8, § 5.11).

Результаты существенно упрощаются, если система голономна. В этом случае уравнение (26.1.1) можно заменить следующим:

Значение интеграла взятого вдоль траектории в -пространстве, сравнивается с его значением вдоль соседней кривой, соединяющей те же самые концевые точки и проходимой за то же самое время. Если мы перейдем к -мерному пространству то получим обычную параметрическую) задачу вариационного исчисления при фиксированных концевых точках. Рассмотрим семейство кривых

соединяющих точку

с точкой

причем Кривая в -мерном пространстве, соответствующая действительному движению, отличается тем, что вдоль нее интеграл имеет стационарное значение. Во многих случаях, правда не во всех, этот интеграл в действительном движении принимает минимальное значение.

Если система неголономна, то формы (26.1.1) и (26.1.2) уже не являются эквивалентными и следует пользоваться первоначальным уравнением (26.1.1). В самом деле, для неголономной системы было бы неверным интерпретировать равенство (26.1.2) обычным образом, считая, что сравниваются близкие геометрически возможные пути.

Для доказательства последнего утверждения достаточно рассмотреть простой пример. Предположим, что частица совершает движение в пространстве при наличии единственной (неинтегрируемой) связи

Эта система неголономна Для простоты будем предполагать, что никаких активных сил нет и единственной силой, действующей на частицу, является реакция связи. Мы знаем, что несмотря на то, что система имеет две степени свободы, частица может из заданной точки попасть в точки, составляющие многообразие трех измерений, по геометрически возможному пути. В самом деле, в § 1.8 было показано, что любой точки пространства можно достигнуть, отправляясь из любой другой точки. С другой стороны, динамически возможные траектории способны перевести частицу лишь в точки некоторого двумерного многообразия.

Поясним основную идею. Для этого рассмотрим движение частицы, начинающееся в момент из начала координат со скоростью (и, Уравнения движения будут иметь вид

Присоединим к ним уравнение связи

Интегрируя, получаем (для

где переменная 9, заменившая время, определяется из уравнения

В этом примере точка находится в начале координат О, а точка должна быть некоторой точкой на линейчатой поверхности заданной уравнениями (26.1.9); положение точки на этой поверхности определяется параметрами и 9. Как и следовало ожидать, при движении из точки О можно достигнуть лишь точек, лежащих на некоторой двумерной поверхности. Выбирая подходящим образом начальную скорость, можно перевести частицу из точки О в любую точку на поверхности за заданный промежуток времени.

Предположим теперь, что мы зафиксировали точку (выбрав ее в точке О), точку а также моменты выхода частицы из точки О и прихода ее в точку Если точка не принадлежит поверхности то динамическая задача не имеет решения, хотя, как мы знаем, существуют геометрически возможные пути, соединяющие точку О с точкой Если же точка принадлежит поверхности то существует динамически возможное движение, при котором частица, выходя из точки О в момент приходит в точку в момент однако это движение не доставляет интегралу стационарного значения в классе геометрически возможных путей.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся известной теоремой вариационного исчисления. Геометрически возможный путь, удовлетворяющий заданным граничным условиям и доставляющий, интегралу стационарное значение при сравнении с соседними геометрически возможными путями, должен удовлетворять правилу множителей. Это требует, чтобы движение описывалось уравнениями Лагранжа,

составленными по функции Лагранжа

где есть функция от подлежащая определению. Эти уравнения имеют вид

К ним следует присоединить уравнение связи (26.1.8). Движение, определяемое уравнениями (26.1.9), не удовлетворяет уравнениям (26.1.12) ни при каком откуда следует, что движение системы не удовлетворяет условию (26.1.12), но оно, конечно, удовлетворяет условию (26.1.1).

Интересно доказать непосредственно, не прибегая к правилу множителей, что интеграл не является стационарным для действительного движения по сравнению с движениями вдоль соседних геометрически возможных путей. Для этой цели рассмотрим геометрически возможный путь, который зададим уравнениями

где к обозначает отношение параметр определяется формулой (26.1.10), а штрих обозначает дифференцирование по 0. Функции принадлежат к классу кроме того, функции принимают нулевые значения при где определяется из уравнения . В интересующем нас случае функции а также их производные малы. Обозначим через приращение интеграла при переходе от невозмущенного пути (26.1.9) к варьированному пути (26.1.13). Имеем

Если бы интеграл принимал на невозмущенном пути стационарное значение, то линейные члены в выражении для 61 обращались бы в нуль. В действительности же они равны

и, вообще говоря, в нуль не обращаются.

Таким образом, мы доказали, что для голономных систем обе формы (26.1.1) и (26.1.2) принципа Гамильтона справедливы. Если же системы неголономны, то принцип Гамильтона выражается только равенством (26.1.1).