§ 17.5. Устойчивость.

Рассмотрим теперь влияние малых возмущений, обусловленных небольшими изменениями величин Если траектория соответствует точке расположенной внутри области (т. е. не лежащей на критической кривой), то малое возмущение приводит к соседней траектории того же типа. Подобные траектории мы будем называть устойчивыми, употребляя этот термин в широком смысле, т. е. не считая, что это обязательно должно означать, что возмущенная траектория лежит в окрестности невозмущенной траектории. В этом смысле термин «устойчивость» означает лишь то, что траектория возмущенного движения относится к тому же типу кривых, что и исходная траектория.

Если же траектория соответствует точке лежащей на критической кривой, то одна из функций или имеет двойной нуль. Пусть, например,

где Если теперь дать малое возмущение, изменив немного значения то правая часть (17.5.1) запишется в форме

где почти равны а, а функция мало отличается от для значений х, близких к а. В общем случае при перемещениях точки а в одну сторону 21 от критической кривой величины будут вещественны и различны, а при перемещениях в другую сторону 23 от критической кривой величины Я) и будут комплексны.

Легко видеть, что поведение будет существенно, различаться в зависимости от знака функции

1) Предположим сначала, что Для этих значений а движением по кривой будет единственное возможное движение в окрестности так как в точке х, у, для которой никакое движение невозможно. Если имеется малое возмущение, то для значений х, близких к так что если вещественны, то возмущенное движение представляет собой либрацию между и а если комплексны, то в окрестности никакое движение невозможно. Отсюда можно получить два следствия. Во-первых, траектория возмущенного движения (в пространстве (х, у)) заключена между кривыми причем близки к а. В важном частном случае, когда кривые представляют выпуклые замкнутые кривые, возмущенная траектория лежит в узком поясе в окрестности невозмущенной траектории а. Эта невозмущенная траектория устойчива не только в введенном выше широком смысле этого слова, но и в более точном смысле, а именно, возмущенная траектория располагается в непосредственной близости от невозмущенной при всех значениях t.

Во-вторых, при переходе критической кривой со стороны на сторону 23 система траекторий вырождается: траектории располагаются в зонах, которые, сужаясь, стягиваются к отдельным кривым по мере того, как изображающая точка на диаграмме а приближается к критической кривой; по другую сторону от критической кривой этих траекторий не существует. Мы уже отмечали выше, что на диаграмме а могут существовать исключаемые области такого рода, внутренним точкам которых не соответствуют реальные траектории.

2) Если то картина становится совсем иной. Движение, соответствующее таким значениям может быть либо движением вдоль кривой либо лимитационным движением, при котором х а при так что при больших значениях t траектория приближается к кривой а. Если мы рассматриваем малые возмущения, то вблизи Если возмущение выводит точку а в сторону 21 от критической кривой, так что величины оказываются вещественными, то х во все время движения должно иметь значения, лежащие за пределами интервала при этом возможны две траектории: одна, для которой и другая, для которой Если же возмущение выводит точку а в сторону 23 от критической кривой, так что величины оказываются комплексными, то выражение (17.5.2) вблизи а положительно, нуля нет и границы для х-движения тоже нет в окрестности Таким образом, как и ранее, при пересечении критической кривой и переходе со стороны 21 на сторону система траекторий исчезает: две отдельные системы сливаются в одну. Первоначальное движение, будь то движение по кривой или лимитационное движение, является неустойчивым даже в широком понимании этого термина: малое возмущение приводит к траекториям совершенно иного типа.

Остается рассмотреть случай, когда точка а является трехкратным нулем функции

Движение вдоль кривой возможно; равным образом возможно и лимитационное движение, при котором является предельной кривой сверху, если и снизу, если Предположим для определенности, что При малых возмущениях правая часть (17.5.3) заменяется выражением

Если вещественны и то для х, близких к а, будем иметь

Если комплексные, то возможен лишь случай . В первом случае (когда вещественны) возможна либрация между пределами но также возможно нелокальное движение, имеющее своей нижней границей. Подобное нелокальное движение является единственно возможным во втором случае. Исходное движение при этом неустойчиво.

Наконец, могут найтись точки, в которых критические кривые функции и критические кривые функции пересекаются. В таких точках а обе функции имеют двукратные нули; такая точка является точкой равновесия, система в этом положении может находиться в покое. Если точка а такова, что

то тогда будет точкой равновесия, и это равновесие будет устойчивым (в обычном статическом смысле), если