Глава XXIII. ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАДАННОГО ДВИЖЕНИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
§ 23.1. Уравнения в вариациях.
Уравнения движения механической системы (например, уравнения Гамильтона) имеют форму (19.1.1): 
В этой главе мы начнем с рассмотрения автономных систем, для которых 
Записывая уравнения для составляющих, получаем систему в форме (21.1.3):
Функции 
принадлежат к классу в некоторой области 
пространства 
Уравнения (23.1.1) определяют движение изображающей точки в 
-мерном пространстве 
Если эта точка начинает свое движение из точки а области 
в момент 
то ее положение в момент 
будет определяться уравнениями вида 
или, в обозначениях (21.1.4),
Функции 
имеют непрерывные первые производные 
в области 
определяемой условием
Вторые производные 
также будем считать непрерывными в указанной области (§ 19.1). Решение задачи состоит в определении функций 
Эти функции удается найти лишь в немногих простых случаях. В общем случае решение в этом смысле получить не удается, хотя во многих астрономических приложениях можно получить приближенные решения с высокой степенью точности.
Поскольку во многих задачах не представляется возможным получить явные выражения для функций 
важно указать те классы задач, решение которых облегчается, если использовать некоторые упрощающие обстоятельства. Важной проблемой является задача построения характеристик, расположенных в окрестности заданной характеристики. При этом нам известны величины 
для всех положительных значений t при определенном заданном значении начальной точки а, но нам неизвестны функции 
для какого-либо интервала значений а. Задача заключается в том, чтобы определить, точно или приближенно, характеристику, начинающуюся в точке 
близкой к точке а.
Обозначим известное решение, которое часто называют невозмущенным через 
таким образом, при 
Близкую, или возмущенную, характеристику обозначил! через 
тогда в момент 
будем иметь 
и
Таким образом, смещение у относительно невозмущенной характеристики удовлетворяет уравнениям
где
Символы 
в правой части (23.1.5) обозначают известные функции от 
а именно значения координат невозмущенного движения в момент Система (23.1.4), в отличие от (23.1.1), конечно, не является автономной.
Обозначим через 
величину 
и соответственно через 
выражение 
Предположим, что величина 
мала. Как известно, решение дифференциальных уравнений (23.1.1) изменяется в зависимости от начальных данных непрерывным образом; поэтому величина 
будет мала вместе с 
по крайней мере для достаточно малой области значений t. В некоторых частных случаях величина 
остается малой для всех положительных значений t.
Ниже (в § 23.7) мы вернемся к уравнениям (23.1.4), сейчас же нашей непосредственной целью будет изучение не точных уравнений, а уравнений линейного приближения. Если разложить правые части уравнений (23.1.5) в ряды по степеням 
и ограничиться линейными членами, то мы получим следующие уравнения линейного приближения:
Мы обозначили здесь зависимую переменную через а обозначение 
сохранили для составляющих вектора у, удовлетворяющего точным уравнениям (23.1.4). Таким образом, вектор 
удовлетворяет линейной системе (23.1.6). Коэффициенты 
являются известными функциями от 
они равны частным производным 
вычисленным в точке 
занимаемой изображающей точкой в момент t на невозмущенной характеристике.
Уравнения (23.1.6) называют уравнениями в вариациях, иногда — уравнениями в вариациях Якоби или Пуанкаре. Они связаны с точными уравнениями (23.1.4) точно так же, как уравнения линейного приближения связаны с точными уравнениями в задаче о движении в окрестности особой точки (§ 21.11). Уравнения в вариациях можно записать в матричной форме:
где 
есть матрица-столбец 
матрица размером 
элементы которой 
суть известные функции от t.
В следующем параграфе мы найдем решение 
уравнений (23.1.7), принимающее значение 
при 
Если это решение таково, что величина 
остается малой вместе с 
в течение всего времени, то соответствующее невозмущенное движение называют устойчивым по первому приближению или устойчивым в бесконечно малом.
Имеются два важных частных случая, в которых элементы 
матрицы А постоянны. Первый из этих случаев относится к движению в окрестности особой точки; он, в частности, включает в себя классическую теорию малых колебаний около положения устойчивого равновесия. Во втором из этих случаев невозмущенное движение является установившимся (§ 9.6). При этом
движении явные (нециклические) координаты и количества движения сохраняют постоянные значения, а циклические координаты (которые не остаются постоянными) не входят в формулы, определяющие элементы матрицы 
Решение уравнений в вариациях (23.1.7) для случая, когда элементы матрицы А постоянны, уже было найдено нами в § 21.10.
Если известно общее решение (23.1.2) уравнений движения, то решение уравнений в вариациях (23.1.7) при заданном начальном значении 6 находится, очевидно, без особого труда. Эти уравнения удовлетворяются функциями
где индекс 
может иметь любое из значений 
Это утверждение становится очевидным, если в уравнения (23.1.1) вместо 
подставить 
и продифференцировать частным образом по 
учитывая при этом, что 
Геометрический смысл этого очевиден. Обозначим матрицу 
через 
каждый столбец ее удовлетворяет уравнению (23.1.7), следовательно,
(Как обычно, 
обозначает здесь матрицу, которая получается из 
дифференцированием по времени каждого элемента.) Отсюда следует, что решением уравнений в вариациях будет 
и так как 
при 
то полученное решение как раз и будет решением, для которого при 
