§ 20.6. Теорема Пуанкаре — Бендиксона.

Результаты, полученные выше, можно представить в виде следующей теоремы. Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области и предположим, что положительное предельное множество А этой полухарактеристики не сводится к особой точке. Тогда либо полухарактеристика С является циклической и либо представляет собой циклическую траекторию (в исключительном случае псевдоциклическую) и С является спиралью, приближающейся к когда

Рассмотрим некоторые дополнительные результаты, имеющие отношение к теореме Пуанкаре — Бендиксона. Подробного и полного исследования мы проводить здесь не будем, так как это увело бы нас далеко в сторону. Напомним, что мы рассматриваем силовое поле, определенное в § 19.3, в котором имеются лишь изолированные особые точки, в каждой из которых

1) Выше мы видели, что положительное предельное множество траектории С может состоять из одной-единственной особой точки I и при траектория стремится к I или, возможно, входит в нее. Этот результат можно трактовать как частный случай теоремы Пуанкаре — Бендиксона, если особую точку I рассматривать как вырожденную форму предельного цикла.

2) Если существует замкнутая область не содержащая особых точек и такая, что в каждой точке ее границы вектор поля направлен внутрь области, то в такой области имеется по крайней мере одна циклическая траектория. (Предполагается, что граница области состоит из кривых с непрерывно изменяющимся наклоном касательной, за исключением конечного числа угловых точек.) В самом деле, любая положительная полухарактеристика, начинающаяся в области остается в этой области и при эта положительная полухарактеристика либо является циклической, либо стремится к предельному циклу. К тому же выводу мы приходим и в том случае, когда во всех точках границы вектор поля направлен наружу. Для доказательства достаточно рассмотреть отрицательные полухарактеристики, начинающиеся в точках области Из сказанного, разумеется, не следует, что в области имеется лишь одна циклическая траектория. (Область не может быть односвязной. Если бы, например, область состояла из простой замкнутой кривой и ограничиваемой ею области, а вектор каждой точке был бы направлен внутрь этой области, то индекс (§ 20.1) кривой был бы равен единице, так что в области была бы по крайней мере одна особая точка.)

3) Предположим, что положительная полухарактеристика С представляет собой спираль, которая стремится изнутри к предельному циклу Если любая точка внутри и достаточно близкая к то положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке стремится к Докажем это.

Пусть точка кривой отрезок без контакта, проходящий через точку Две последовательные точки пересечения кривой С с отрезком соответствующие заданному (достаточно большому) значению Рассмотрим кольцевую область,

ограниченную снаружи кривой а изнутри — простой замкнутой кривой, составленной из дуги кривой С и отрезка прямой При достаточно большом эта область не имеет особых точек, так что положительная полухарактеристика С, начинающаяся из точки внутри этой области, в ней и остается. По мере того как кривая С стремится к кривая С стремится к тому же предельному циклу. В самом деле, последовательные точки пересечения С с отрезком лежат в интервалах так как две траектории не могут пересечься одна с другой. Следовательно, при кривая С стремится к

4) Если к предельному циклу изнутри стремится положительная полухарактеристика, то к нему не может изнутри стремиться отрицательная полухарактеристика. Рассмотрим, как и в п. 3), отрезок без контакта проходящий через точку кривой Последовательные точки пересечения положительной полухарактеристики с отрезком стремятся к точке стало быть, последовательные точки пересечения отрицательной полухарактеристики удаляются от точки В этом случае предельный цикл называется устойчивым изнутри.

5) Если существует циклическая траектория такая, что изнутри к ней не приближается ни положительная, ни отрицательная полухарактеристика, то в области, ограниченной кривой и вблизи нее проходит еще одна циклическая траектория.

Рис. 92.

Для доказательства рассмотрим точку на кривой и отрезок без контакта проходящий через эту точку. Пусть точка на отрезке лежащая внутри области, ограниченной вблизи от Рассмотрим положительную полухарактеристику, начинающуюся в точке Изображающая точка либо возвращается в первоначальное положение и тогда теорема доказана, либо попадает на отрезок в некоторую точку Если эта точка лежит между то следующая точка пересечения окажется между Последовательность будет сходиться к предельной точке, расположенной на отрезке рад. Этой предельной точкой не может быть точка ибо тогда проходящая через точку положительная полухарактеристика стремилась бы к траектории что по условию не имеет места. Поэтому точки стремятся к пределу I, заключенному между а траектория стремится к предельному циклу проходящему через точку (Если точка не лежит между то следует воспользоваться отрицательной полухарактеристикой, проходящей через точку

6) Рассмотрим случай, когда является циклической траекторией и в ограничиваемой ею области имеется одна особая точка которая является узлом или фокусом. Возьмем точку вблизи от Если особая точка неустойчива, то положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке не может стремиться к точке Следовательно, она должна стремиться к предельному циклу, который либо совпадает с либо является другой циклической траекторией, расположенной внутри области, ограниченной кривой Отрицательная полухарактеристика, начинающаяся в точке при этом стремится к точке возможно, входит в нее.

Если предельный цикд для положительной полухарактеристики, начинающейся в точке совпадает с самой кривой то в области, ограниченной этой кривой, не может быть других циклических траекторий. В противном случае положительная полухарактеристика, начинающаяся в стремилась бы к одной из них, а не к В этом случае называют наименьшей циклической траекторией, охватывающей точку Из рассуждений, подобных тем, что мы проводили в п. 3), следует, что положительная полухарактеристика, начинающаяся в любой точке не совпадающей с и лежащей внутри области, ограниченной кривой стремится к этой кривой, тогда как отрицательная полухарактеристика, начинающаяся в стремится к точке

Аналогичное положение имеет место и тогда, когда точка устойчива. В этом случае положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке стремится к точке а соответствующая отрицательная полухарактеристика стремится к

7) В других возможных случаях может иметься конечное число циклических траекторий, охватывающих одну особую точку или счетное множество циклических траекторий. Как мы видели, если есть особая течка типа центра, то все траектории могут быть циклическими.

Если точка окружена конечным числом циклических траекторий и является неустойчивой, то наименьшая циклическая траектория, охватывающая должна быть устойчива изнутри. В исключительном случае она может оказаться полу устойчивой, т. е. устойчивой изнутри и неустойчивой снаружи. Этот последний случай встречается очень редко, и, как правило, наименьшая циклическая траектория устойчива, т. е. устойчива с обеих сторон. В общем случае последовательные циклические траектории либо устойчивы, либо неустойчивы.