Главная > Аналитическая динамика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 20.6. Теорема Пуанкаре — Бендиксона.

Результаты, полученные выше, можно представить в виде следующей теоремы. Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области и предположим, что положительное предельное множество А этой полухарактеристики не сводится к особой точке. Тогда либо полухарактеристика С является циклической и либо представляет собой циклическую траекторию (в исключительном случае псевдоциклическую) и С является спиралью, приближающейся к когда

Рассмотрим некоторые дополнительные результаты, имеющие отношение к теореме Пуанкаре — Бендиксона. Подробного и полного исследования мы проводить здесь не будем, так как это увело бы нас далеко в сторону. Напомним, что мы рассматриваем силовое поле, определенное в § 19.3, в котором имеются лишь изолированные особые точки, в каждой из которых

1) Выше мы видели, что положительное предельное множество траектории С может состоять из одной-единственной особой точки I и при траектория стремится к I или, возможно, входит в нее. Этот результат можно трактовать как частный случай теоремы Пуанкаре — Бендиксона, если особую точку I рассматривать как вырожденную форму предельного цикла.

2) Если существует замкнутая область не содержащая особых точек и такая, что в каждой точке ее границы вектор поля направлен внутрь области, то в такой области имеется по крайней мере одна циклическая траектория. (Предполагается, что граница области состоит из кривых с непрерывно изменяющимся наклоном касательной, за исключением конечного числа угловых точек.) В самом деле, любая положительная полухарактеристика, начинающаяся в области остается в этой области и при эта положительная полухарактеристика либо является циклической, либо стремится к предельному циклу. К тому же выводу мы приходим и в том случае, когда во всех точках границы вектор поля направлен наружу. Для доказательства достаточно рассмотреть отрицательные полухарактеристики, начинающиеся в точках области Из сказанного, разумеется, не следует, что в области имеется лишь одна циклическая траектория. (Область не может быть односвязной. Если бы, например, область состояла из простой замкнутой кривой и ограничиваемой ею области, а вектор каждой точке был бы направлен внутрь этой области, то индекс (§ 20.1) кривой был бы равен единице, так что в области была бы по крайней мере одна особая точка.)

3) Предположим, что положительная полухарактеристика С представляет собой спираль, которая стремится изнутри к предельному циклу Если любая точка внутри и достаточно близкая к то положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке стремится к Докажем это.

Пусть точка кривой отрезок без контакта, проходящий через точку Две последовательные точки пересечения кривой С с отрезком соответствующие заданному (достаточно большому) значению Рассмотрим кольцевую область,

ограниченную снаружи кривой а изнутри — простой замкнутой кривой, составленной из дуги кривой С и отрезка прямой При достаточно большом эта область не имеет особых точек, так что положительная полухарактеристика С, начинающаяся из точки внутри этой области, в ней и остается. По мере того как кривая С стремится к кривая С стремится к тому же предельному циклу. В самом деле, последовательные точки пересечения С с отрезком лежат в интервалах так как две траектории не могут пересечься одна с другой. Следовательно, при кривая С стремится к

4) Если к предельному циклу изнутри стремится положительная полухарактеристика, то к нему не может изнутри стремиться отрицательная полухарактеристика. Рассмотрим, как и в п. 3), отрезок без контакта проходящий через точку кривой Последовательные точки пересечения положительной полухарактеристики с отрезком стремятся к точке стало быть, последовательные точки пересечения отрицательной полухарактеристики удаляются от точки В этом случае предельный цикл называется устойчивым изнутри.

5) Если существует циклическая траектория такая, что изнутри к ней не приближается ни положительная, ни отрицательная полухарактеристика, то в области, ограниченной кривой и вблизи нее проходит еще одна циклическая траектория.

Рис. 92.

Для доказательства рассмотрим точку на кривой и отрезок без контакта проходящий через эту точку. Пусть точка на отрезке лежащая внутри области, ограниченной вблизи от Рассмотрим положительную полухарактеристику, начинающуюся в точке Изображающая точка либо возвращается в первоначальное положение и тогда теорема доказана, либо попадает на отрезок в некоторую точку Если эта точка лежит между то следующая точка пересечения окажется между Последовательность будет сходиться к предельной точке, расположенной на отрезке рад. Этой предельной точкой не может быть точка ибо тогда проходящая через точку положительная полухарактеристика стремилась бы к траектории что по условию не имеет места. Поэтому точки стремятся к пределу I, заключенному между а траектория стремится к предельному циклу проходящему через точку (Если точка не лежит между то следует воспользоваться отрицательной полухарактеристикой, проходящей через точку

6) Рассмотрим случай, когда является циклической траекторией и в ограничиваемой ею области имеется одна особая точка которая является узлом или фокусом. Возьмем точку вблизи от Если особая точка неустойчива, то положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке не может стремиться к точке Следовательно, она должна стремиться к предельному циклу, который либо совпадает с либо является другой циклической траекторией, расположенной внутри области, ограниченной кривой Отрицательная полухарактеристика, начинающаяся в точке при этом стремится к точке возможно, входит в нее.

Если предельный цикд для положительной полухарактеристики, начинающейся в точке совпадает с самой кривой то в области, ограниченной этой кривой, не может быть других циклических траекторий. В противном случае положительная полухарактеристика, начинающаяся в стремилась бы к одной из них, а не к В этом случае называют наименьшей циклической траекторией, охватывающей точку Из рассуждений, подобных тем, что мы проводили в п. 3), следует, что положительная полухарактеристика, начинающаяся в любой точке не совпадающей с и лежащей внутри области, ограниченной кривой стремится к этой кривой, тогда как отрицательная полухарактеристика, начинающаяся в стремится к точке

Аналогичное положение имеет место и тогда, когда точка устойчива. В этом случае положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке стремится к точке а соответствующая отрицательная полухарактеристика стремится к

7) В других возможных случаях может иметься конечное число циклических траекторий, охватывающих одну особую точку или счетное множество циклических траекторий. Как мы видели, если есть особая течка типа центра, то все траектории могут быть циклическими.

Если точка окружена конечным числом циклических траекторий и является неустойчивой, то наименьшая циклическая траектория, охватывающая должна быть устойчива изнутри. В исключительном случае она может оказаться полу устойчивой, т. е. устойчивой изнутри и неустойчивой снаружи. Этот последний случай встречается очень редко, и, как правило, наименьшая циклическая траектория устойчива, т. е. устойчива с обеих сторон. В общем случае последовательные циклические траектории либо устойчивы, либо неустойчивы.

1
Оглавление
email@scask.ru