§ 13.8. Вращающийся волчок.
Обратимся теперь к задачам о движении твердого тела, имеющего ось симметрии. Начнем с известной задачи о вращающемся волчке, рассматривавшейся нами в §§ 8.6 — 8.10 на основе метода Лагранжа. До сих пор уравнения Гиббса — Аппеля мы использовали только в неголономных системах, где наиболее ярко проявляются их преимущества. Разумеется, их можно применить и к голономным системам, в частности к задаче о волчке. Помещая начало координат О в острие волчка и направляя
ось 
вдоль оси волчка, можем написать (см. 13.4.11))
Уравнения движения будут иметь вид
(здесь 
Работа заданных сил на виртуальном перемещении будет равна 
Рис. 39.
Рассмотрим в качестве примера классический случай, когда заданными силами являются силы тяжести. Пусть 
полярные углы оси 
волчка относительно неподвижной системы 
в которой ось 
направлена вертикально вверх, а ось 
горизонтальна (рис. 39). Тогда будем иметь
Здесь 
обозначает расстояние между центром тяжести 
и острием волчка.
Из (13.8.4) следует, что 
скажем
Это справедливо и в любой другой задаче, в которой момент заданных сил относительно оси волчка равен нулю. Уравнения (13.8.2) и (13.8.3) теперь принимают вид
Умножая уравнение (13.8.8) на 
и интегрируя, получаем
Мы видим, что уравнения (13.8.9) и (13.8.10) совпадают с уравнениями (8.6.6) и (8.6.7); дальнейший анализ производится так же, как в §§ 8.6-8.10.
Если исходить из другой формы функции а именно из формы (13.4.15), то получающиеся уравнения будут иметь вид, указанный в § 8.7. В этом случае будем иметь
или
где 
направляющие косинусы оси волчка, т. е. составляющие вектора Пользуясь выражением (13.8.12), следует помнить, что величины х, у, z не являются независимыми. В самом деле,
Равенством (13.8.13) можно воспользоваться для того, чтобы привести (13.8.12) к форме, содержащей лишь три необходимые составляющие ускорения. Более симметричное выражение получается, если ввести неопределенный множитель Лагранжа. Работа сил тяжести на виртуальном перемещении равна 
так что уравнения движения записываются в виде
Последнее уравнение дает известный интеграл 
тогда остальные уравнения принимают вид
Теперь легко прийти к ранее выведенным формулам. Из уравнений (13.8.15) — (13.8.17) непосредственно следуют уравнения 
частном случае спящего волчка 
малы, 
в первом приближении можно считать равным единице. Тогда с принятой степенью точности будем иметь 
и уравнения (13.8.15), (13.8.16) примут вид
эквивалентный (9.9.14).
