§ 23.6. Уравнения в вариациях для системы Гамильтона.

Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если есть собственное значение матрицы монодромии, то также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель X не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны и Если же характеристический показатель X является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен

В частности, для системы с двумя степенями свободы характеристические показатели равны (0, 0, а, —а) или где а — число вещественное (см. § 23.5).

Перейдем к доказательству этих важных утверждений. Исходные уравнения, которым удовлетворяет заданное периодическое движение, имеют вид

Здесь Обозначим через координаты и импульсы в возмущенном движении. Уравнения в вариациях запишутся в виде

(знак суммы мы для краткости записи опускаем). Величины равны

где после дифференцирования подставляются значения в первоначальном движении.

Уравнения (23.6.2) имеют гамильтонову форму, роль переменных играют здесь Функция Гамильтона имеет вид

где, как и выще, повторяющиеся индексы означают суммирование. Если вектор с составляющими обозначить через и записать уравнения Гамильтона в форме (22.1.5), то будем иметь

где как обычно, обозначает матрицу

симметрическую периодическую матрицу размером

Докажем теперь, что если два независимых решения уравнений в вариациях (23.6.5), то функция

сохраняет постоянное значение. В самом деле, производная от этого выражения

равна нулю, поскольку матрица симметрическая и (Развернутое выражение для имеет вид

где обозначают составляющие вектора

— составляющие вектора и.) Итак, функция остается постоянной; отсюда следует, что

где обозначают соответственно значения при

Возьмем, в частности, векторы и в момент времени Тогда

где через которое мы обозначили представляет матрицу монодромии фундаментальной матрицы (см. § 23.4). Из (23.6.10) имеем

и так как это справедливо для произвольных значений то матрица обладает следующим свойством:

Такая матрица называется симплектической.

Напомним, что все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения. Если есть собственное значение симплектической матрицы (которая является матрицей монодромии фундаментальной матрицы то также является собственным значением. В самом деле, если собственное значение матрицы то

Отсюда

и, следовательно, в силу (23.6.13)

В результате получаем

откуда видно, что есть собственное значение матрицы

Вспоминая, что легко приходим к теореме, сформулированной в начале параграфа.

Как мы выяснили в § 23.5, один из характеристических показателей X равен нулю. Теперь мы установили, что все ненулевые показатели встречаются парами: Но так как общее число всех показателей является четным, то нулевых показателей должно быть два. Кроме того, поскольку матрица вещественная, ее собственным значением, вместе с будет комплексно-сопряженное число . В результате получаем, что если X есть характеристический показатель, который не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то X также будет характеристическим показателем. Теорема, таким образом, доказана.