§ 5.8. Лагранжевы координаты для неголономной системы.

Предположим теперь, что уравнения связи (2.2.4) не являются вполне интегрируемыми. Пусть число независимых линейных комбинаций, допускающих интегрирующий множитель, будет равно Тогда уравнения связи могут быть записаны в виде

где — пфаффовы формы от дифференциалов Число I является инвариантом системы, и не существует какой-либо интегрируемой комбинации уравнений связи, независимой от (5.8.1). Рассмотрим теперь преобразование

в котором функции, стоящие в левой части уравнений (5.8.1), а последние -функций представляют собой подходящим образом выбранные функции от аргументов принадлежащие классу Функции от аргументов независимы и принадлежат классу Как и ранее, преобразование (5.8.3) будем считать обратимым, так что для соответствующей области переменные будут однозначными функциями

В новых переменных первые уравнений связи будут иметь простой вид:

Если постоянные зафиксированы, последние к переменных определяют положение системы. Одйако теперь остаются I уравнений связи (5.8.2), которые не допускают интегрируемых комбинаций. В новых переменных эти уравнения представляются в следующей форме:

Эти I уравнений Пфаффа не допускают интегрируемых комбинаций. Поскольку постоянны, соотношения (5.8.5) эквивалентны уравнениям Пфаффа с к членами:

Коэффициенты представляют собой известные функции от аргументов принадлежащие классу

Таким образом, для неголономной системы не представляется возможным выбрать лагранжевы координаты так, чтобы число их равнялось числу степеней свободы. Наименьшее возможное число лагранжевых координат больше числа степеней свободы на число уравнений связи, не допускающих интегрируемых комбинаций.

Возможные перемещения системы определяются равенствами

Входящие сюда к дифференциалов

связаны лишь соотношениями (5.8.6). Виртуальные перемещения системы выражаются соотношениями

причем дифференциалов связаны условиями

Чтобы убедиться в том, что виртуальные перемещения действительно определяются соотношениями (5.8.8) и (5.8.9), нужно доказать, что они удовлетворяют уравнениям

и

(см. (2.2.9)). Для уравнений (5.8.10) это очевидно; что касается уравнений (5.8.11), то они выполняются в силу равенств

Как и в голономных системах, введение лагранжевых координат практически производится более простым способом. В каждой конкретной задаче обычно нетрудно выбрать эти координаты наиболее удобным образом.