§ 15.7. Доказательство равенства ...

Перейдем к доказательству равенства (15.5.10), причем будем предполагать, что функция 5 построена по способу, описанному в § 15.5. Докажем сначала следующую лемму.

Лемма. Функции определяемые уравнением (15.5.3), обращаются в нуль, если подвергнуть их действию оператора

где обозначает в момент (знак суммирования для краткости опущен).

Справедливость этого утверждения становится очевидной, если варьировать определяющие траекторию параметры таким образом, чтобы их значения определяли ту же самую траекторию. Чтобы получить формальное доказательство, замечаем, что при произвольном значении в некоторой окрестности

Дифференцируя частным образом по и полагая затем получаем доказательство леммы.

Теперь нетрудно доказать равенство (15.5.10). В силу соотношений (15.5.4) и (15.5.6) имеем

где как и в (15.5.4), выражено через Далее,

Умножая три последних уравнения соответственно на и складывая, получаем

Согласно доказанной лемме, оператор (15.7.1) обращает в нуль. Это справедливо и для следовательно,

что и требовалось доказать.