§ 8.5. Задача о движении в двух измерениях.

В качестве примера движения в двух измерениях рассмотрим следующую задачу. Тонкая однородная цилиндрическая оболочка массы и радиуса 6 катится по горизонтальной плоскости, а другая цилиндрическая оболочка массы и радиуса а катится внутри первой. Все поверхности считаются идеально шероховатыми, так что качение происходит без скольжения.

Описанная система голономна и имеет две степени свободы. На рис. 18 изображено поперечное сечение оболочек плоскостью, перпендикулярной к их осям; центр первого цилиндра обозначен через С, центр второго — через Точка В фиксирована на первом цилиндре, точка А — на втором; в начальный момент точка В совпадает с точкой О, принадлежащей плоскости, и точка А совпадает с В. В качестве лагранжевых координат возьмем угол между отрезком и направленной вниз вертикалью в точке С и угол между отрезком и этой же вертикалью; углы и отсчитываются в противоположных направлениях (см. рисунок).

Рис. 18.

Условие отсутствия скольжения записывается в виде

или

где . В процессе движения поверхности, вообще говоря, могут отделиться друг от друга, но мы, чтобы не усложнять задачу, будем предполагать, что этого не происходит (это можно обеспечить, например, с помощью некоторого невесомого механизма). Будем предполагать, что движение начинается из состояния покоя, в котором причем

Без ограничения общности можно считать, что в начальный момент Имеем

Интеграл импульса, соответствующий циклической координате , имеет вид

и мы сразу получаем, что

Уравнение (8.5.5) определяет явным образом , если известна функция Найдем последнюю.

Уравнение энергии записывается в форме

Исключая из уравнений (8.5.4) и (8.5.6) (с помощью очевидного тождества

или каким-либо иным способом), находим

где

Уравнение (8.5.7) определяет связь между Очевидно, движение носит периодический характер и колеблется между пределами а и —а. Период колебаний равен