§ 14.12. Импульсивное движение непрерывных систем.

Мы уже высказывали точку зрения, что основное уравнение для случая конечных сил приложимо к непрерывным системам; в § 3.9 это положение было проиллюстрировано на конкретных примерах. Эта точка зрения основывалась на физических соображениях.

Здесь мы выскажем аналогичное предположение о том, что основное уравнение (14.3.6) теории удара сохраняет силу и для непрерывных систем,

с той лишь разницей, что там, где это нужно, суммирование заменяется интегриров анием.

Рассмотрим некоторые примеры.

1) Несжимаемая жидкость. Рассмотрим однородную идеальную несжимаемую жидкость. Пусть имеются внутренние и внешние границы. Границы либо представляют собой твердые поверхности, либо являются деформируемыми; в последнем случае изменение их должно происходить таким образом, чтобы ограничиваемый ими объем оставался неизменным. Если движение границ в некоторый момент претерпевает разрыв (например, если жидкость находится в покое в замкнутом сосуде и этому сосуду внезапно сообщается резкий толчок), то движение жидкости также будет разрывным. Задача заключается в том, чтобы определить мгновенное изменение движения.

Обозначим составляющие вектора скорости относительно неподвижной прямоугольной системы координат через а (постоянную) плотность жидкости через . В жидкости устанавливается импульсивное давление , подобно тому как в системе с конечным числом степеней свободы возникают импульсы связей. Основное уравнение (14.3.6) принимает вид

Объемный интеграл берется по всему пространству, занятому жидкостью, а поверхностный интеграл — по ограничивающим поверхностям. Через обозначена составляющая скорости вдоль внешней нормали. Символ А обозначает конечное (не бесконечно малое) приращение, возможное в момент Если направляющие косинусы внешней нормали обозначить через то правую часть уравнения (14.12.1) можно представить в виде

Второй член правой части равенства равен нулю, так как Из уравнений (14.12.1) и (14.12.2) получаем

Это равенство справедливо для произвольных значений удовлетворяющих условиям Таким образом,

Мы получили уравнения импульсивного движения жидкости. Если в момент движение было безвихревое, то оно будет безвихревое и в момент Движение, начинающееся из состояния покоя, является безвихревым, так что Импульсивное давление связано с потенциалом скоростей возникшего движения соотношением

Все эти выводы справедливы лишь для классического случая идеальной несжимаемой жидкости.

Некоторые хорошо известные теоремы классической гидродинамики, доказываемые обычно с помощью формулы Грина, легко могут быть получены из общих теорем теории удара. Предположим, что движение начинается из состояния покоя от резкого толчка жестких границ. Энергия системы при этом будет равна (§ 14.7, п. 1)

Интегралы здесь берутся по граничным поверхностям, а индекс относится к внешней нормали. Сообщенная энергия является наименьшей из всех возможных при заданных значениях нормальной скорости в точках границы. Это следует из замечания 1 к теореме Кельвина (§ 14.7, п. 5), так как в каждой точке границы задано как направление импульса, так и составляющая скорости в этом направлении.

2) Неупругая струна (нить). Неупругая струна лежащая на гладкой горизонтальной плоскости, приводится в движение импульсом направленным по касательной к струне в точке В. Найти движение струны после приложения импульса.

Рис. 47.

Пусть длина струны между точками а угол между касательными к струне в этих точках. Будем предполагать, что радиус кривизны положителен и конечен и представляет собой дифференцируемую функцию от во всех точках дуги Обозначим через тангенциальную и нормальную составляющие скорости точки (рис. 47). Если — линейная плотность струны в точке то основное уравнение (14.3.6) запишется в форме

где символ А, как обычно, обозначает конечную (не бесконечно малую) вариацию, а значение и в точке В.

Поскольку струна нерастяжима, имеем

и уравнение (14.12.7) записывается в виде

Здесь а обозначает величину угла в точке В. Интегрируя по частям, находим

На концах струны выполняются следующие условия:

и так как равенство (14.12.10) выполняется для произвольных А и, то можем написать

Функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению

Что же касается функции то для нее имеем дифференциальное соотношение

эквивалентное однородному линейному уравнению

где заданная функция от штрихом обозначено дифференцирование по Нас интересует решение уравнения (14.12.15), удовлетворяющее условиям на концах (14.12.11). Заметим, что если радиус кривизны струны в точке В равен нулю, например, когда В является точкой заострения дуги циклоиды, это решение не имеет места.

Другой случай мы имеем, когда конец А не свободен, а вынужден двигаться в направлении нормали к, кривой в точке А (другие направления невозможны). Условиями на концах тогда будут

Рассмотрим два конкретных примера движения однородной струны, когда

а) Струна имеет форму дуги окружности, и угол изменяется от до Уравнение для запишется в виде

Решение его будет иметь вид

где масса струны. Из (14.12.12) находим

Энергия струны будет равна

Интересно отметить, что это значение больше, чем — что и следовало ожидать на основании теоремы Бертрана; мы должны были бы наложить на движение связь, ваставив струну двигаться внутри гладкой трубы; тогда ее энергия была бы равна

Если конец А не свободен, а принужден двигаться в направлении нормали к струне, то решение записывается в виде

и

В этом случае энергия струны равна

и она меньше того значения, которое дает формула (14.12.20). Таким образом, мы еще раз проиллюстрировали теорему Бертрана.

b) Струна имеет форму дуги денной линии

где угол изменяется от до В этом случае и дифференциальное уравнение для принимает вид

Решением его будет

Из условия (14.12.12) получаем

В случае свободной струны условия на концах (14.12.11) принимают вид

Если же точка А принуждена двигаться по нормали, то условия на концах (14.12.16) дают

В этом случае

и все точки струны движутся с одинаковой скоростью С в одном направлении — в направлении нормали к кривой в точке А.