§ 6.7. Интеграл Якоби.

Допустим, что система, описываемая функцией Лагранжа удовлетворяет двум следующим условиям

1) L не содержит явно

2) скорость в действительном движении является виртуальной скоростью.

В этом случае вместо в уравнении (6.6.2) можно написать Тогда оно примет вид

Левую часть этого уравнения можно преобразовать к виду

после чего, интегрируя уравнение (6.7.1), получаем

где постоянная. Соотношение (6.7.2) известно [как интеграл Якоби. Его называют иногда также интегралом энергии или уравнением энергии, поскольку в случае натуральной системы

и (6.7.2) эквивалентно равенству

Рассмотрим условия, при которых существует интеграл вида (6.7.2). Условие 1), разумеется, будет выполнено, если ни ни V не зависят от t. Кроме того, не зависит явно от если соотношения между не содержат времени. Эта возможность, однако, не единственная; иногда не содержит явно t даже в том случае, когда переменные х зависят от и от t. Очевидным примером может служить равномерно вращающаяся система координат. Предположим, что система координат вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси совпадающей с осью неподвижной системы Тогда для произвольно выбранной точки системы будем иметь

где — постоянная угловая скорость. Поэтому

и, следовательно,

Предположим теперь, что лагранжевы координаты выбраны так, что декартовы координаты во вращающейся системе зависят только от и не зависят от времени. Тогда

где квадратичная форма от с коэффициентами, зависящими от — линейная форма от с коэффициентами, зависящими от функция от Таким образом, функция

не содержит хотя соотношения между их содержат t.

Далее, работа заданных сил на виртуальном перемещении равна

Если заданные силы, вычисленные во вращающейся системе координат, консервативны, то работа равна — где Практически важен случай, когда имеет место симметрия относительно оси вращения В простейшем случае ось вращения вертикальна, а заданными силами являются силы тяжести.

Условие 2), очевидно, будет выполнено, если система голономна и . Оно выполняется также и для неголономной системы, если коэффициенты в уравнениях связи (6.2.3) все равны нулю. Последнее, очевидно, имеет место, когда система является катастатической (§ 2.3) и соотношения между не содержат например, в случае качения сферы по неподвижной идеально шероховатой поверхности под действием силы тяжести.