§ 1.3. Либрационное движение.

Рассмотрим более подробно либрационное движение (случай I). В движении, определяемом уравнением

начальное значение х лежит между последовательными простыми вещественными нулями функции Можно написать

При этом в замкнутом промежутке имеем Уравнение (1.2.10) принимает теперь форму

Знак х зависит от самой задачи, так как при колебательном движении частица движется попеременно то вправо, то влево. Знак в уравнении

должен выбираться таким образом, чтобы при изменении х между предельными значениями правая часть уравнения (1.3.3) всегда была положительна. Поэтому, когда х возрастает, следует выбирать знак плюс, а когда х убывает — знак минус. С этим мы уже встречались в § 1.2 и встретимся еще позже.

Рис. 2.

Для того чтобы избежать в дальнейшем возможной путаницы со знаком, целесообразно ввести новую угловую переменную 6, непрерывно возрастающую вместе с t. Мы будем рассматривать либрацию как движение проекции на ось точки, совершающей вращение по окружности. Точки будут концами диаметра этой окружности. Когда точка (рис. 2) движется по окружности в одном и том же направлении, точка совершает колебания между точками Переменные х и в связаны между собой соотношением

где

и

Уравнение (1.3.2) принимает теперь вид откуда

Вопрос о знаке, таким образом, отпадает, поскольку величина положительна. Если бы функция была постоянна, то постоянным было бы и значение 0; это мы имеем в частном случае гармонического движения. Можно написать

Функция четная, везде положительная и периодическая с периодом Переменные t и связаны между собой соотношением

Здесь значение при котором без потери общности можно положить Заметим, что при в течение полупериода Период а определяется формулой

Можно написать где среднее значение

Чтобы закончить решение задачи, найдем явное выражение х от t. Поскольку четная функция от с периодом ее можно представить в общем случае в виде ряда Фурье:

Нам нужно определить коэффициенты . С этой целью сначала разложим в ряд Фурье:

Здесь

а

Имеем

Отсюда

и

Уравнение (1.3.14) связывает t и 9. Положим тогда точка на рис. 1.2, где будет равномерно двигаться по окружности. Но и угол геометрически представляет отклонение рассматриваемого либрационного движения от строго гармонического. Угол обращается в нуль, и точка совпадает с когда проходит через точки т. е. когда t равно целому числу полупериодов. Теперь определим коэффициенты Поскольку

мы имеем

и, так как получаем

Величина есть известная функция от , определяемая формулой (1.3.15). Таким образом, коэффициенты в правой части (1.3.16) определены, на чем решение задачи заканчивается.