§ 8.12. Качение диска.

До сих пор применение уравнений Лагранжа ограничивалось голономными системами. Рассмотрим теперь приложение этих уравнений к неголономной системе, а именно к однородному диску или однородному круглому обручу, катящемуся по шероховатой горизонтальной плоскости. Система имеет три степени свободы, но для определения ее конфигурации требуется пять лагранжевых координат. Дифференциалы этих пяти координат, представляющие виртуальное перемещение, должны удовлетворять двум пфаффовым уравнениям связи, а уравнения Лагранжа будут содержать два множителя (§ 6.2).

Возьмем неподвижную систему координат причем ось направим вертикально вверх, а точку О выберем в плоскости, по которой катится диск. Ориентацию диска определим эйлеровыми углами а ось системы (связанной с диском) направим по оси симметрии диска.

Рис. 22.

Координатами центра тяжести будут где а — радиус диска. Функция Лагранжа запишется в виде

где масса диска, его главные моменты инерции в точке причем

При виртуальном перемещении дифференциалы связаны двумя соотношениями (условиями качения), а именно:

В рассматриваемой задаче виртуальные перемещения, разумеется, совпадают с возможными перемещениями. Уравнения (8.12.2) и (8.12.3) можно получить различными способами. Можно, например, применить один из приемов, использованных в § 5.9 для составления уравнений качения сферы. Однако проще всего ввести подвижные оси (не связанные с диском), как указано на рис. 22, и так как точка К диска в данный момент находится в покое, то скорость точки будет иметь составляющие асог или Поэтому составляющие скорости точки

по направлениям будут равны Приравнивая эти величины составляющим получаем условия (8.12.2), (8.12.3).

С помощью функции Лагранжа (8.12.1) и уравнений связи (8.12.2), {8.12.3) составляем уравнения движения:

Здесь через обозначена величина Всего мы имеем семь уравнений: пять уравнений (8.12.4) — (8.12.8) и условия качения

Полученные нами семь уравнений определяют семь неизвестных:

Физический смысл величин очевиден: из уравнений (8.12.4), (8.12.5) получаем

и, таким образом, выражают составляющие реакции связи в точке контакта К вдоль осей и

Легко выразить через и их производные; в самом деле, из (8.12.9), (8.12.10) имеем

Учитывая (8.12.9) — (8.12.12), получаем

Подставляя теперь эти выражения в уравнения (8.12.6) и (8.12.8) — и исключая из (8.12.7) и (8.12.8), находим

Эти три уравнения содержат три переменные:

Теперь можно составить дифференциальные уравнения, выражающие как функции от 0. Обозначая через запишем уравнения (8.12.18) и (8.12.19) в форме

Здесь Исключая находим

Это дифференциальное уравнение типа Лежандра определяет как функцию от Значение коэффициента равно 1 для обруча и для диска. Исключая из (8.12.20) и (8.12.21), получаем

где через обозначено Дифференциальное уравнение (8.12.23) определяет а следовательно, и как функцию от

Из уравнения (8.12.17) можно получить условие для установившегося движения, при котором диск составляет с горизонтальной плоскостью угол а, а центр его движется по окружности радиуса со скоростью Величина в установившемся движении равна ; значение определяется из уравнения

при выводе которого используется равенство —

Рассмотренная задача иллюстрирует применение уравнений Лагранжа к неголономным системам. Мы видели, что это практически вполне возможно. Однако, вообще говоря, метод Лагранжа не особенно удобен для задач такого рода. Для неголономных систем более удобным и плодотворным является другой метод, основанный на уравнениях Гиббса — Аппеля; с этим методом мы познакомимся в гл. XII и XIII.