§ 23.7. Устойчивость траекторий (1).

Впервые понятие устойчивости было установлено для системы, выведенной из положения равновесия (§ 9.1). В § 9.9 мы это понятие применили при исследовании равновесия гироскопической, системы, а в -при исследовании установившегося движения гироскопической системы. Наконец, при изучении уравнений в вариациях (§ 23.1) мы ввели понятие устойчивости движения по первому приближению.

Возникает вопрос: можно ли каким-либо разумным способом обобщить понятие устойчивости на общий случай движения и что следует тогда иметь в виду, говоря об устойчивости движения, а не об устойчивости равновесия?

Напомним, что мы рассматриваем кривые в фазовом пространстве измерений, а не в -мерном -пространстве. Во- многих случаях невозмущенная исходная характеристика представляет собой периодическую орбиту.

Будем пользоваться обозначениями § 23.1. Рассматриваемые нами орбиты представляют собой траектории уравнений (23.1.1):

или, в сокращенном виде, уравнения

Решение х, принимающее при значение а, может быть представлено в виде (23.1.2):

или, короче,

Если немного изменить начальные условия и от точки а перейти к близкой точке а и обозначить через соответствующую точку на траектории в момент t (см. § 23.1), то можно будет написать

При непрерывном изменении начальных данных решение системы дифференциальных уравнений также изменяется непрерывным образом; поэтому, если t не слишком велико, то мало вместе с Точнее, для всякого положительного числа можно указать положительные числа

и такие, что если то для всех t в промежутке выполняется неравенство

Можно было бы дать такое формальное определение устойчивости движения. Движение называется устойчивым, если конечный интервал можно заменить бесконечным интервалом Если мы примем такое определение, то придем к следующей формулировке: траектория является устойчивой, если для любого можно указать такое положительное что если то для всех положительных t. Траекторию, удовлетворяющую этому условию, называют устойчивой по Ляпунову.

Если решение (23.7.4) известно не только какой-либо одной определенной начальной точки а для всех начальных точек в некоторой окрестности точки а, то легко проверить, выполняется ли критерий устойчивости по Ляпунову. Однако в общем случае мы знаем решение (23.7.4) для какого-то одного определенного а, а не для совокупности начальных точек (§ 23.1). Возмущение определяется как решение уравнений (23.1.4),

принимающее при значение Правые части уравнений (23.7.6), как и в (23.1.5), равны

где известные функции от а именно значения координат в невозмущенном движении в момент t. Основной вопрос заключается в следующем: известно, что мало, означает ли это, что также мало при всех значениях

Исследуя задачу о спящем волчке (§ 9.9), мы пришли к выводу об устойчивости положения равновесия; это заключение мы вывели из существования интеграла, имеющего вид определенно-положительной квадратичной формы от переменных (В том исследовании рассматривались уравнения Лагранжа, а не Гамильтона и шесть переменных играли роль переменных Подобным же образом, в теории малых колебаний около положения равновесия, в котором потенциальная функция имеет минимум, заключение об устойчивости вытекало из рассмотрения интеграла энергии. Этот интеграл не является определенно-положительной квадратичной формой (за исключением случая, когда коэффициенты в выражении для постоянны, а потенциал V представляет собой точно, а не приближенно, определенно-положительную квадратичную форму), но обладает некоторыми существенными свойствами такой формы. (Переменные играют при этом роль Малость означает малость а также малость ) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных содержат еще а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений (23.7.6), но монотонно убывают по мере того, как происходит движение.

В дальнейшем мы будем иметь дело с функциями, которые по своим свойствам аналогичны определенно-положительным квадратичным формам. Будем говорить, что функция или, короче, является

определенно-положительной функцией, если в окрестности точки она принадлежит к классу и обладает следующими свойствами:

1) при существует положительное число х такое, что если то Здесь и дальше обозначает

2) можно указать положительное число к такое, что если то поверхность лежит строго внутри поверхности обычно при достаточно малых значениях с поверхности являются замкнутыми -мерными поверхностями.

Некоторые свойства определенно-положительных функций вытекают непосредственно из их определения. Обозначим через наименьшее значение для точек на поверхности пусть Выберем число а, удовлетворяющее неравенству и обозначим через соответственно точную нижнюю грань и точную верхнюю грань функции на сфере а. Тогда и при заданной функции величины та являются монотонными функциями от а и стремятся к нулю вместе с а. Если то а если то Далее, неравенство означает, что а неравенство что Если у изменяется таким образом, что то (Общая картина кривых для случая представлена на рис. 101. Сплошными линиями на рисунке показаны кривые

Рис. 101.

В качестве простого примера для можно указать функцию где при этом та

Распространим теперь понятие асимптотической устойчивости, введенное нами в § 19.5, на случай возмущенного движения. Невозмущенную траекторию будем называть асимптотически устойчивой, если существует такое положительное число х, что для всех значений лежащих в области при т. е. возмущенное движение при стремится к невозмущенному движению.

Расширим понятие определенно-положительной функции таким образом, чтобы оно охватывало функции, зависящие не только от но еще и от t. Будем говорить, что функция или, короче, определенно-положительная, если является определенно-положительной функцией и если существует определенно-положительная функция такая, что если и то

Вернемся теперь к критерию устойчивости по Ляпунову. Он определяется следующей теоремой и следствиями из нее.

Теорема Ляпунова. Если уравнения (23.7.6) возмущенного-движения допускают определенно-положительный пространственный интеграл то невозмущенное движение устойчиво.

Рассмотрим интеграл Выберем какое-нибудь и положим Пусть, далее, х есть положительное число, определяемое равенством Тогда, если то следовательно, Теорема, таким образом, доказана.

Следствие 1. Если определенно-положительная функция не является интегралом уравнений (23.7.6), но обладает тем свойством, что функция

положительна при достаточно малых для всех положительных то невозмущенное движение устойчиво.

При изменении у вдоль траектории, определяемой уравнениями (23.7.6) и начинающейся в точке имеем

следует, что Это неравенство справедливо при всех t и заменяет равенство Если то

Следствие 2. Если функции являются определенно-положительными, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. (В следствии 1 функция предполагалась лишь положительной для достаточно малых

Нужно доказать, что существует положительное число х такое, что для любых в области при Как мы знаем (см. следствие 1), существует такое х, что если то непрерывно убывает, когда у перемещается вдоль траектории, определяемой уравнениями (23.7.6), и, следовательно, стремится к пределу где Предположим, что при некотором частном выборе Тогда для всех положительных следовательно, где а — положительное число, определяемое уравнением Пусть есть определенно-положительная функция, соответствующая Тогда из неравенства а будем иметь где Таким образом, при перемещении у вдоль траектории, определяемой уравнениями (23.7.6), имеем

Но это невозможно, поскольку правая часть при достаточно больших значениях t отрицательна. Отсюда следует, что т. е. при следовательно, Невозмущенное движение таким образом, асимптотически устойчиво.

Распространим теперь теорию на случай функций, зависящих не только и от t.

Следствие 3. Если определенно-положительная функция является интегралом уравнений (23.7.6), то невозмущенное движение устойчиво.

Рассмотрим интеграл Существует определенно-положительная функция такая, что

Функция определенно-положительная, следовательно, можно указать такое положительное число х, что если то Тогда в течение всего движения

откуда следует, что

Следствие 4. Если определенно-положительная функция такова, что

положительно при всех достаточно малых для всех положительных то невозмущенное движение устойчиво.

В этом случае функция постоянно убывает, когда у перемещается вдоль траектории (23.7.6), и мы приходим к тому же результату, что и в следствии 1.

Наконец, произведем простое обобщение следствия 2, приводящее к критерию асимптотической устойчивости. Этот критерий требует наложения дополнительного ограничения на определенно-положительную функцию Любая определенно-положительная функция обладает тем свойством, что, как бы мало ни было существует такое положительное что если то Правда, в общем случае это утверждение неверно однако мы будем рассматривать только такие функции которые обладают указанным свойством для всех т. е. функции, для которых неравенство влечет за собой для всех t. Если определенно-положительная функция обладает этим свойством, то говорят, что она имеет бесконечно малую верхнюю грань.

Следствие 5. Если определенно-положительная функция имеет бесконечно малую верхнюю грань и если функция определенно-положительная, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Обозначим через определенно-положительную функцию, соответствующую (см. следствие 3), а через определенно-положительную функцию, соответствующую Как и в следствии 3, выберем число у. таким, чтобы при стало быть, Если то при Перемещении у вдоль траектории, начинающейся в монотонно убывает и стремится к пределу где Предположим, что для некоторого Тогда и потому (в силу того, что имеет бесконечно малую верхнюю грань) существует положительное число такое, что Отсюда следует, что в течение всего движения

Обозначим через X точную нижнюю грань определенно-положительной функции в замкнутой области, определяемой условием (23.7.15). Тогда можем написать

и

Однако последнее неравенство невозможно, поскольку его правая часть при достаточно больших значениях t отрицательна. Отсюда следует, что величина может быть только нулем, и так как имеет бесконечно малую верхнюю грань, то

Приведем несколько примеров систем, устойчивых по Ляпунову. В первом и во втором примерах мы найдем общее решение уравнений движения, а в третьем примере воспользуемся теоремой Ляпунова.

Пример Гармонический осциллятор. При надлежащем выборе масштаба времени выражения для кинетической и потенциальной энергий, а

также для функции Гамильтона будут иметь следующий вид:

Уравнения движения запишутся в виде

Решением этих уравнений будет

где через обозначены начальные значения переменных Для траектории, начинающейся в соседней точка будем иметь

и

Последняя формула показывает, что расстояние между изображающими точками в невозмущенном движении и в возмущенном движении остается неизменным во времени; этот результат геометрически очевиден, поскольку изображающие точки движутся по концентрическим окружностям с одинаковой угловой скоростью. Движение устойчиво в смысле Ляпунова, и мы можем положить . В более общем случае, когда

уравнения движения принимают форму

При этом написанные уравнения мы рассматриваем как точные, а не как приближенные, как это мы делали в теории малых колебаний. Решение имеет вид

где начальная точка определяется координатами Для траектории, начинающейся в близкой точке будем иметь

Следовательно,

и

где есть наибольшее из чисел Критерий устойчивости по Ляпунову выполняется, и мы можем положить

Пример Рассмотрим движение, определяемое уравнениями

где . В полярных координатах имеем

Траектории этого движения устойчивы по Ляпунову. Рассмотрим, например, периодическую орбиту проходящую через начальную точку Через близкую к ней точку будет проходить орбита

В возмущенном движении при так что расстояние между изображающими точками на спиральной орбите и на круговой орбите непрерывно убывает и стремится к пределу Периодическая орбита устойчива по Ляпунову, и мы можем положить

Пример Рассмотрим задачу, в которой уравнения (23.7.6) возмущенного движения имеют вид

где Возьмем определенно-положительную функцию

Тогда соответствующая функция будет иметь вид

Если то внутри круга функция определенно-положительна. (Записывая в полярных координатах, будем иметь

и

Если

то Неравенство (23.7.37) выполняется для всех 0, если Невозмущенное движение асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова (см. следствие 2).

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном однако даже для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво; это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку будет

где у обозначает постоянное ускорение поля. Если через х, у обозначить координаты точек возмущенной характеристики, проходящей через близкую начальную точку то будем иметь

и будет стремиться к бесконечности вместе с t всегда, за исключением случая

В случае либрационного движения период возмущенного движения (которое также является периодическим) в общем случае отличается от периода невозмущенного движения, так что не может все время оставаться малым, и, стало быть, и не будет малым. В других, менее простых случаях (например, в ограниченной задаче трех тел, см. гл. XXVIII) лишь очень немногие характеристики оказываются устойчивыми по Ляпунову,