§ 29.5. Случай плоского движения.

Исследуем в более общей форме случай плоского движения трех частиц. Возьмем систему осей, вращающихся вокруг неподвижного начала О с постоянной угловой скоростью со. Если

через обозначить координаты частиц относительно вращающихся осей, то функция кинетической энергии запишется в виде

а потенциальная энергия будет равна где

и

Для составления функции Гамильтона нужно

выразить через импульсы, исключив скорости (§ 10.14). Обозначая составляющие импульсов соответственно через будем иметь

и, следовательно,

Уравнения движения имеют вид

где

Коэффициент при в формуле (29.5.6) для Я, равный

представляет собой момент количеств движения системы относительно точки О. Уравнения (29.5.7) показывают, что эта величина в течение всего движения остается постоянной.

Возникает вопрос: существует ли такое решение, в котором частицы остаются в покое относительно вращающихся осей? Подобное решение можно назвать равновесным решением. Если равновесное решение существует, то оно обращает правые части уравнений (29.5.7) в нули, откуда следует, что

Обратно, если существуют значения удовлетворяющие уравнениям (29.5.9), то существует равновесное решение, для которого величина имеет значение , а величина значение Таким образом, равновесные решения определяются теми точками

пространства в которых функция

принимает стационарные значения.

Ясно, что в равновесном решении центр масс трех частиц расположен в точке О и находится в покое. Это почти сразу вытекает из уравнений (29.5.9). В самом деле, если записывать подробно, то эти уравнения будут иметь вид

и т. д. Мы видим, что

и, следовательно, центр масс трех частиц находится в покое в точке О.

Проведем теперь ось х через точку, занимаемую частицей (что можно сделать без потери общности); при этом Тогда из последнего уравнения для у (29.5.11) получаем

и так как

то

Таким образом, либо либо Если то уравнение (29.5.11) для х вместе с уравнением (29.5.12) приводят к равенству (см. (29.3.7)), и тогда уравнение (29.5.11) для у вместе с (29.5.15) дают

Если то и так что все три частицы располагаются на одной прямой. Предполагая, что частица находится между и что имеет положительную координату х, можем написать

Формулы (29.5.11) для х теперь совпадают с (29.3.8) — (29.3.10).

Таким образом, мы получили все равновесные решения; в этих решениях частицы располагаются либо на одной прямой, либо в вершинах равностороннего треугольника.