§ 27.11. Задача Тэта. Непосредственное решение.

Рассмотрим теперь пример, иллюстрирующий вторую часть теоремы Кельвина (§ 27.9). (Поскольку мы будем решать плоскую задачу, роль поверхностей равного действия будут играть кривые.) Рассмотрим снова задачу о движении частицы в однородном поле, и пусть начальной кривой будет прямая, параллельная направлению поля.

Направим ось вдоль поля и будем считать прямую линией нулевой энергии, а прямую линией, с которой частица начинает движение.

Определим траектории частиц, начинающих свое движение из точек со скоростью , где . Вычисления аналогичны тем, которые мы проводили в предыдущем параграфе. Имеем

и

причем, как и ранее, мы положили здесь Уравнение для имеет вид

или

Следовательно,

Отсюда находим :

где ради краткости обозначено через через Выражение для К имеет вид

Поверхности (в данном случае кривые) равного действия (рис. 111) описываются уравнением

Траекториями частиц являются параболы

что можно записать также в форме

Рис. 111.

Параболы (27.11.9) касаются линий кривые равного действия (27.11.8) имеют точки заострения, расположенные на этих линиях.