§ 15.9. Примеры непосредственного вычисления главной функции.

Найдем главную функцию для нескольких простых частных случаев.

1) Однородное поле. Частица массы движется в плоскости под действием однородного поля Движение, как и в случае (15.6.2), определяется формулами

Здесь и

Результат интегрирования следует выразить через Проделав этог будем иметь

Легко проверить, что функция обладает перечисленными ранее свойствами. Например, уравнения (15.8.1) дают нам решение задачи Лагранжа о движении в плоскости

2) Гармонический осциллятор. Для этого случая имеем

и

Последний результат должен быть выражен через Выполняя элементарное интегрирование, получаем

Этот результат верен при условии, что не кратно Как мы знаем в этом исключительном случае функции не существует, если только не выполняется дополнительное условие (в противном случае ибо, согласно известной теореме, для любого целого числа полупериодов гармонического осциллятора ).

Легко проверить, что соотношения (15.8.1), (15.8.2) дают интегралы уравнений движения Гамильтона. Например,

что эквивалентно соотношению между с которого мы начинали.

3) Рассмотрим простой пример, в котором функция явно зависит от так что зависит от а не только от их разности Рассмотрим частицу, совершающую движение по прямой в силовом поле, равномерно усиливающемся со временем. Конкретным примером может служить движение магнитной массы в переменном магнитном поле. Потенциал на единицу массы такого поля равен где Имеем

Теперь можно выразить

как функцию от t. Вычисляя интеграл и выражая затем через получаем следующее выражение для главной функции:

Мы снова можем легко убедиться в -что функция обладает всеми указанными ранее свойствами.

4) Периодические траектории. Составим функцию для замкнутой периодической траектории. Для гармонического осциллятора что и следовало так как здесь мы имеем исключительный случай, когда величина а постоянна, имеет одно и то же значение для всех периодических траекторий.

Для ньютоновской эллиптической орбиты имеем

Здесь — большая ось эллипса, а средние по времени значения Следовательно, для замкнутой орбиты

Уравнение (15.8.21) в этом случае легко проверить; в самом деле,

{Формулы (15.9.14) для средних значений можно получить многими способами. Докажем лишь одну из них, другая может быть тогда получена из уравнения Выразим через эксцентрический угол

Отсюда получаем

что и требовалось доказать.)