§ 14.5. Принцип наименьшего принуждения в теории удара.

Рассмотрим катастатическую систему и будем предполагать, что в момент прилагаются заданные импульсы или накладываются связи первого типа или же осуществляется и то и другое одновременно. Докажем, что значения скоростей и в момент (т. е. непосредственно после приложения импульсов) определяются из условия, что выражение

рассматриваемое как функция от и, принимает минимум в классе скоростей допустимых в момент как обычно, обозначает систему скоростей, в момент т. е. непосредственно перед приложением импульсов). Эта теорема аналогична принципу наименьшего принуждения Гаусса в случае конечных сил (§ 4.3).

Доказательство очень простое. Если и — действительная система скоростей в момент а — любая другая возможная система скоростей в этот же момент времени, то имеем

Отсюда, учитывая (14.3.6), получаем

если только

Наиболее важным является случай, когда на систему наложены связи первого типа; для этого случая теорема утверждает, что выражение

имеет минимум при истинном значении скорости и в классе скоростей, возможных для системы с наложенными связями.

Подобно аналогичной теореме § 4.3, доказанная теорема дает более чем достаточную информацию для решения поставленной задачи; условия стационарности функции приводят к системе линейных уравнений относительно составляющих вектора и.

В качестве простого примера рассмотрим следующую задачу.

Пример 14.5. Четыре однородных стержня, массы и длиной I каждый, шарнирно соединены друг с другом своими концами и образуют раму; две противоположные вершины этой рамы соединены легкой нерастяжимой струной длиной (так что, когда струна натянута, рама имеет форму квадрата). Система движется по гладкой горизонтальной плоскости. Первоначально струна не натянута, но в момент она натягивается. Требуется определить движение системы непосредственно после приложения импульса.

Кинетическая энергия одного стержня равна где векторы представляют собой составляющие скорости концов стержня по направлениям, перпендикулярным к стержню, скорость вдоль стержня.

В рассматриваемой задаче скорости вдоль стержней обозначим через Тогда кинетическая энергия стержня будет равна

Написав соответствующие формулы для других стержней, получим

где значения скоростей непосредственно перед моментом натяжения струны. Уравнение связи запишется в форме

Рис. 44.

Условия стационарности функции при наличии связи (14.5.7) дают

Отсюда находим

где