§ 23.4. Случай периодических коэффициентов.

Вернемся к рассмотрению общего случая уравнений в вариациях

где коэффициенты являются известными функциями от t.

Матрица размером тхтп, столбцы которой представляют линейно независимых решений 1 уравнений в вариациях, называется фундаментальной матрицей. Фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению

Если фундаментальная матрица, то любая другая фундаментальная матрица может быть представлена в виде где С — неособая матрица размером с постоянными элементами Это следует из того, что любое решение линейной системы (23.4.1) может быть выражено в виде линейной комбинации (с постоянными коэффициентами) независимых решений. В частности, матрица является фундаментальной матрицей: ее первый столбец, например, представляет решение, удовлетворяющее начальным условиям Итак, любая фундаментальная матрица имеет форму

Рассмотрим теперь случай, когда исходная характеристика является периодической орбитой с периодом а. (Разумеется, если а есть период, то также являются периодами. Обычно, хотя и не всегда, мы будем понимать под о наименьший период.) Элементы матрицы А при этом являются периодическими функциями от с периодом а, так что для всех значений t имеем

Если фундаментальная матрица, то таковой будет и матрица поэтому существует неособенная матрица такая, что

Матрица называется матрицей монодромии фундаментальной матрицы Для фундаментальной матрицы матрица монодромии равна К (а); это сразу следует из того факта, что

Выясним, какова матрица монодромии У другой фундаментальной матрицы Имеем

Следовательно, фундаментальной матрице соответствует матрица монодромии

Если есть матрица монодромии для фундаментальной матрицы, то матрица будет матрицей монодромии для другой фундаментальной матрицы тогда и только тогда, когда имеет вид Поэтому все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения и элементарные делители, и все они приводятся к одной и той же нормальной форме Шордана. Собственные значения называют множителями. Ни один из множителей не обращается в нуль, поскольку

Для нахождения множителей можно воспользоваться матрицей монодромии

Пусть матрица монодромии фундаментальной матрицы всегда можно найти матрицу К (не обязательно вещественную) такую, что будет выполняться равенство

Если собственные значения матрицы К равный, то собственными значениями матрицы будут

Числа Пуанкаре называл характеристическими показателями заданной периодической орбиты.

Наиболее важное свойство системы (23.4.2), матрица которой периодична с периодом а, заключается в том, что любая ее фундаментальная

матрица может быть представлена в форме где неособенная матрица, элементы которой являются непрерывными периодическими функциями от с периодом постоянная матрица.

Таким образом, фундаментальная матрица представляется в виде произведения периодической матрицы и фундаментальной матрицы для системы уравнений в вариациях с постоянными коэффициентами. Для доказательства замечаем, что

Положим

Тогда

откуда видно, что матрица является периодической. Эта матрица неособенная, поскольку матрицы и неособенные. Из (23.4.11) тогда получаем, что

что и требовалось доказать. Характеристические показатели однозначно определяются для заданной периодической матрицы но матрица К не определяется матрицей единственным образом.

Чтобы получить решение в явном виде, следует привести матрицу К к нормальной форме Жордана. Пусть X есть неособенная матрица такая, что

где -матрица в нормальной форме (23.3.10). Тогда

и, следовательно, фундаментальная матрица имеет форму

где есть периодическая матрица Множитель уже был вычислен нами в § 23.3.

Рассуждения упрощаются, если ограничиться рассмотрением случая, когда нормальная форма матрицы монодромии является диагональной. При этом для любой фундаментальной матрицы будем иметь

Обозначим первый столбец матрицы через тогда

и, следовательно,

Таким образом, функция является периодической с периодом а, и мы можем написать

где

Рассуждая подобно тому, как это мы делали в § 23.3, где рассматривался случай постоянной матрицы., можно из (23.4.16) установить тип решений для различных случаев. Если все характеристические показатели имеют отрицательные вещественные части, то во всех случаях движение асимптотически устойчиво по первому приближению. (Это следует из того, что если — положительные числа, то когда Если все показатели X — числа чисто мнимые, а нормальная форма матрицы монодромии диагональна, то движение по первому приближению устойчиво. Если же при чисто мнимых показателях к матрица монодромии не приводится к диагональной форме, то решение содержит члены вида периодическая функция с периодом а), и соответствующее движение не является устойчивым по первому приближению. Наконец, если хотя бы один показатель X имеет положительную вещественную часть, то движение также неустойчиво по первому приближению.

Обратимся к случаю, когда элементы матрицы а постоянны. Мы определили характеристические показатели только для периодической матрицы а. Однако из § 23.3 следует, что если матрица а постоянна, то ее, собственные значения играют в решении уравнений в вариациях такую же роль, что и характеристические показатели в случае, когда матрица а является периодической. Поэтому термином «характеристический показатель» можно пользоваться и в том случае, когда элементы матрицы а постоянны. В задачах, в которых а есть постоянная матрица, характеристические показатели являются ее собственными значениями.