§ 27.5. Исключение координат.

Теория исключения координат, развитая в § 10.1, может быть выведена из вариационного принципа, аналогичного принципу наименьшего действия. Мы будем рассматривать функционал, который принимает стационарное значение не во всем классе кривых сравнения, соединяющих концевые точки, а лишь в классе кривых, подчиненных известному ограничению. В этом параграфе мы выведем снова некоторые полученные ранее формулы (см. § 10.1), и хотя здесь мы не получим никаких новых результатов, однако рассуждения, приводящиеся ниже, представляют известный самостоятельный интерес. Возьмем голономную систему с степенями свободы, причем первые координат будем считать циклическими.

Рассмотрим интеграл

Для вариации этого интеграла, обусловленной переходом к соседнему пути в -пространстве, получаем по (26.5.5) следующее выражение:

Но

причем теперь мы ограничиваем варьированное движение таким образом, чтобы эти равенства оставались справедливыми. Первые составляющих импульса в этом движении остаются постоянными, равными их значениям в исходном движении. Учитывая это ограничение, находим

Отсюда легко получаем требуемый результат. Выражаем подынтегральную функцию в левой части (27.5.4) через исключаем первые составляющих скорости и вводим вместо них соответствующие составляющие импульса с помощью соотношений (27.5.3) (см. § 10.1). После этого под знаком интеграла будет стоять функция Рауса зависящая от явных координат и их производных и содержащая, разумеется, постоянные Если теперь зафиксировать концевые значения явных (не циклических) координат, а также начальный и конечный моменты времени, то получим

Уравнения Рауса (10.1.9) выводятся отсюда точно таким же образом, каким уравнения Лагранжа получаются из принципа Гамильтона. Изложенный вывод принадлежит Лармору.