§ 10.6. Линейные члены в функции L.

В случае натуральной системы (§ 6.5) является однородной квадратичной функцией от Функция Лагранжа, составленная по методу Рауса, содержит, однако, еще слагаемые, линейные относительно

где обозначает теперь число явных координат, т. е. эффективное число степеней свободы системы, для которой играет роль функции Лагранжа. Выше (в §§ 6.1 и 6.6) уже отмечалось, что такого рода линейные члены появляются и в других случаях, например в некоторых задачах, где фигурируют силы, зависящие от скорости; в дальнейшем нам еще встретятся примеры, когда в входят линейные члены.

Функция добавляет к левой части уравнения Лагранжа выражение

или

где

Если коэффициенты а зависят только от и не зависят от t (что имеет место, например, если функция Рауса составлена путем исключения координат из из натуральной системы), то линейная форма порождает в уравнениях движения антисимметричные линейные члены, называемые гироскопическими членами. Вектор, составляющая которого равна

не совершает работы во время движения, поскольку Поэтому линейные члены в функции Лагранжа не входят в уравнение энергии; с этим фактом мы уже встречались ранее (§ 6.8).

Мы видели выше, каким образом появляются нейные члены вида (10.6.1) в функции Лагранжа (для явных координат), образованной с помощью

процесса исключения. Рассмотрим теперь случай, когда линейные члены в функции Лагранжа появляются из-за наличия сил, зависящих от скорости. Возьмем в качестве примера задачу о движении материальной точки относительно неподвижной прямоугольной системы координат. Предположим, что функция содержит линейные члены:

или, что то же,

где вектор вектор функции от принадлежащие классу Полная функция Лагранжа имеет вид

где Напишем уравнения движения

и два аналогичных; через здесь обозначены составляющие

В векторной форме уравнение движения можно записать так:

Таким образом, если на частицу действует сила, порождаемая потенциальной функцией V, и сила вида — то функция Лагранжа имеет форму (10.6.7).

Рассмотрим некоторые важные частные случаи.

1) Частица находится под действием силы притяжения к точке О (или отталкивания от этой точки), причем величина силы притяжения (отталкивания) пропорциональна так что

где для случая притяжения и для случая отталкивания. Пусть, кроме того, имеется еще гироскопическая сила где постоянный вектор. В этом случае вектор зависит от так что составляющие являются линейными функциями от х, у, z с постоянными коэффициентами. Если, в частности,

а

и уравнения движения записываются в форме

Последнее уравнение этой системы автономно; если принять, что в начальный момент частица движется в плоскости так что при то все время будем иметь Первые два уравнения можно заменить одним уравнением относительно комплексной переменной

С этим уравнением мы уже встречались дважды: (9.8.7) для и (9.9.14) для к Знак , конечно, существен: между задачей о притяжении и задачей об отталкивании имеется существенная разница. Что же касается знака то он не играет особенно важной роли, поскольку замена на приводит к тому же самому уравнению. Положительная полутраектория (траектория для положительных значений в одной задаче такая же, как отрицательная полутраектория (траектория для отрицательных значений в другой задаче, отличающейся знаком Будем считать, что

Представляет интерес случай, когда Это всегда выполняется для притяжения а при и в случае отталкивания ; как отмечалось в § 9.9, это есть условие устойчивости. Будем считать, что условие выполняется, и положим Тогда при а при Решение имеет вид

где значения соответственно при Некоторые примеры движения, описываемого уравнением (10.6.16), нами уже рассматривались (в § 9.8 для и в § 9.9 для

2) Рассмотрим движение заряженной частицы в электромагнитном поле. Сила поля, действующая на частицу, равна в гауссовых единицах

где заряд, который несет частица, — скалярный потенциал и А — векторный потенциал поля. Как мы уже видели (уравнение (10.6.10)), член в выражении для порождает силу

действующую на частицу. Поэтому действие электромагнитного поля можно учесть, если в функцию Лагранжа ввести члены

Пример 10.6А. Теорема Лармора. Рассмотрим массивную заряженную частицу, движущуюся в поле механических и электрических сил, симметричных относительно оси Как изменится движение частицы при наложении слабого однородного магнитного поля напряженностью у в направлении

Имеем

и

где представляют собой функции от Сравним функцию (10.6.20) с функцией Лагранжа (§ 6.7) при тех же механическом и электростатическом полях, но без магнитного поля, причем будем считать, что координатные оси вращаются около с угловой скоростью . Имеем

Если положить

и считать и столь малой, что в (10.6.21) можно пренебречь членами порядка то выражения (10.6.20) и (10.6.21) совпадут. Движение в магнитном поле напряженностью у оказывается таким же, как движение относительно вращающихся осей при отсутствии этого поля. Наложение слабого однородного магнитного поля вдоль оси симметрии заданных механического и электростатического полей равносильно наложению на исходное движение вращения с угловой скоростью . Это утверждение составляет содержание теоремы Лармора. Если заряд отрицательный, то получаем правое вращение около оси симметрии.

Пример 10.6В. Скрещивающиеся поля. Заряженная частица совершает движение под действием однородного электрического поля и перпендикулярного ему однородного магнитного поля. Найдем траекторию частицы, начинающей движение из состояния покоя.

Пусть заряд частицы будет (так что если заряженной частицей является электрон, то положительно), вектор напряженности электрического поля пусть будет и магнитного поля Тогда

или

где Уравнения движения запишутся в виде

Если частица начинает свое движение из начала координат из состояния покоя, то z все время будет равно нулю и движение в плоскости будет описываться уравнением

где Решение, удовлетворяющее условиям при имеет вид

Траекторией частицы является циклоида

где

и Циклоида имеет точки заострения на оси наибольшее расстояние от этой оси во время движения равно