Глава XXIV. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§ 24.1. Контактные преобразования.

Движение динамической системы определяет непрерывную группу преобразований фазового пространства (§ 21.3). Эти преобразования переводят изображающую точку из положения

занимаемого ею в момент в положение

занимаемое в момент Функции, определяющие преобразование, являются решениями уравнений Гамильтона; они имеют вид

Предполагается, что функции принадлежат к классу когда точка лежит в некоторой области в интервале времени (который во многих случаях является бесконечным: Для краткости мы часто будем писать

Следует помнить, что мы имеем дело с -мерным пространством особого рода — пространством пар переменных -Рассматриваемые преобразования сохраняют меру:

Далее, поскольку левая часть (24.1.3) не обращается в нуль, мы можем разрешить уравнения (24.1.1), (24.1.2) относительно и получить в результате уравнения обратного преобразования:

Уравнения (24.1.1), (24.1.2) определяют оператор (§ 21.3), а уравнения (24.1.4), (24.1.5) — обратный оператор . В автономном случае, когда не содеряотт обратный оператор равен

Эти соотношения можно представить в иной форме, что иногда оказывается полезным. Например, мы можем, вообще говоря, разрешить уравнения (24.1.4) относительно выразив их через Проделав это, будем иметь

Такая операция возможна при условии, что якобиан

не равен тождественно нулю. То, что в общем случае такое решение возможно, ясно из того факта, что обычно движение полностью определяется заданием времени и концевых точек в -пространстве (§ 15.6). Исключая из уравнений (24.1.1), (24.1.2), приходим к уравнениям (24.1.4) и (24.1.7).

Точно таким же образом мы можем, вообще говоря, из уравнений (24.1.5) выразить через

Напомним еще одно фундаментальное свойство преобразования (24.1.1), (24.1.2). Если есть главная функция (§ 15.5), то

где повторяющийся индекс означает суммирование от 1 до . В дальнейшем мы будем предполагать, что функция (в правой части выражена через переменные с помощью соотношений (24.1.7). Уравнение (24.1.8) показывает, что преобразование (24.1.1), (24.1.2) таково, что при фиксированном значении t выражение

представляет полный дифференциал однозначной функции от переменных это свойство характерно для преобразований, определяемых уравнениями Гамильтона. Мы будем называть любое преобразование, обладающее этим свойством, контактным преобразованием. Если, в частности, форма (24.1.9) тождественно равняется нулю, то мы будем говорить об однородном контактном преобразовании. (Такое преобразование уже встречалось нам в § 15.8.) Очевидно, что контактные преобразования образуют группу, и криволинейный интеграл Пуанкаре является инвариантом этой группы.

Таким образом, движение динамической системы в фазовом пространстве порождает контактное преобразование, благодаря чему контактное преобразование и нашло впервые применение в механике.

Из равенства (24.1.8) легко получить формулы для контактного преобразования, определяемого движением заданной динамической системы. Сравнивая коэффициенты при вариациях, находим

Эти формулы уже были получены нами в § 15.8 и в § 16.1. Там они определяли решение задачи Гамильтона; здесь же они определяют контактное преобразование. Таким образом, они выражают по существу одно и то же, но с разных точек зрения.

Равенства (24.1.10) получаются из (24.1.8) лишь при условии, что между переменными нет никакого тождественного соотношения. Но последнее условие, очевидно, выполняется, ибо в противном случае это означало бы существование тождественного соотношения между переменными что невозможно в силу независимости этих переменных. Однако следует иметь в виду, что в иных случаях подобные тождественные соотношения могут иметь место; ниже мы приведем несколько таких примеров.

Рассуждая в обратном порядке, возьмем произвольную функцию класса формулы

определяют в общем случае некоторое контактное преобразование. (В следующем параграфе мы укажем условие, которому должна удовлетворять функция

Ранее (в § 15.8) нам уже представлялся случай для перехода к новым параметрам являющимся функциями от переменных и связанным с ними однородным контактным преобразованием, так что

Численные значения параметров определяют орбиту в фазовом пространстве так же, как и значения параметров Преобразование переменных в переменные представляет произведение двух контактных преобразований. В самом деле, имеем

где штрихи означают, что соответствующая величина выражена через Некоторые замечания относительно двух формул выражающих каждая нами уже были сделаны в § 15.8, п. 4.