§ 1.2. Прямолинейное движение материальной точки в силовом поле.

Простейшей и в то же время весьма важной задачей является задача о движении материальной точки по прямой линии силовом поле. В этом случае

где заданная функция независимой переменной х, принадлежащая классу в некоторой области значений х; в простейших случаях функция определена для всех вещественных значений х.

Введем потенциальную функцию

где а — любое подходящее число, лежащее в области определения Таким образом, и

Кинетическая энергия материальной точки определяется формулой

Уравнение движения имеет вид

Символ в правой части уравнения (1.2.5) обозначает теперь величину функции в точке х, в которой точка находится в момент t (в противоположность (1.2.1), где есть функция независимой переменной Аналогичным образом, если представляет собой значение в точке в которой частица находится в момент t (в противоположность (1.2.2), где есть функция независимой переменной то можем написать

Умножая (1.2.5) на х, находим, что откуда

где постоянная.

Уравнение (1.2.6) представляет собой известное уравнение энергии, или интеграл энергии. Уравнение второго порядка (1.2.5), выражающее х как функцию заменяется, таким образом, уравнением первого порядка (1.2.6), выражающим как функцию от х. Для рассматриваемой задачи характерно то, что одному значению х соответствуют два значения х, одинаковые по величине, но различающиеся знаком. Поскольку из (1.2.6) следует, что материальная точка никогда не выходит за пределы области

Если уравнение второго порядка (1.2.5) заменить двумя уравнениями первого порядка, то будем иметь

Для наших непосредственных целей в этом нет необходимости, но в других случаях такой прием оказывается очень удобным. Уравнение энергии представляет собой уравнение траектории изображающей точки в плоскости

Уравнение энергии

проходит через всю теорию прямолинейного движения материальной точки в силовом поле. Более того, уравнение вида

в котором в соответствующей области х, фигурирует во многих задачах динамики. По этой причине следует кратко остановиться на задаче интегрировании уравнения (1.2.10). Мы увидим, что характер движения можно определить по графику функции

Рассмотрим сначала один особый случай. Пусть имеетсяточка такая, что, в ней одновременно обращаются в нуль. Иначе говоря, в этой точке кривая касается оси и эта точка является

положением равновесия. Если в момент следовательно, то всегда и точка находится в положении равновесия.

Кроме этого исключительного случая существуют четыре возможных варианта поведения точки в зависимости от

1. Точка совершает непрерывные колебания вдоль оси х между точками и ее движение является периодическим; такое движение называется либрационным движением.

2. , когда такое движение называется лимитационным движением.

3. , когда .

4. , когда

Покажем, каким образом эти четыре типа движений получаются из уравнения (1.2.10). Обратимся для этого к графику функции Ордината у для всякого значения х дает соответствующее значение а производная указывает соответствующее значение Движение может осуществляться только на тех участках оси х, где

Рис. 1.

Предположим, что при функция (а не и что в этот момент т. е. Для достаточно малых значений t скорость х положительна, и соотношение между для этих значений t имеет вид

Предположим сначала, что точка Лежит между двумя последовательными простыми вещественными нулями функции причем а График для этого случая показан на рис. 1, а; кривая пересекает ось х в точках и при причем в точке а в точке Поскольку простой нуль функции интеграл в правой части (1.2.11) сходится при так что материальная точка достигает точки за конечное время. В точке она приходит в состояние покоя, но лишь мгновенного (поскольку и затем начинает двигаться влево. Подобным же образом устанавливаем, что материальная точка достигает точки а за конечное время, на мгновение останавливается и затем начинает двигаться вправо. В начальную точку она возвращается с той же (положительной) скоростью, с какой она начала свое движение; это происходит за время

после старта. (В первом интеграле в формуле возрастает от а до и затем убывает от до а; радикал берется со знаком плюс, когда возрастает, и со знаком минус, когда убывает. Во втором интеграле радикал берется со знаком плюс.) Движение в интервале от до представляет собой простое повторение движения в интервале от до Это же справедливо для движения в интервале от до где любое целое положительное число. Движение периодическое с периодом

До сих пор мы предполагали, что но ясно, что такое же периодическое движение будет иметь место, если точка начинает движение из состояния покоя в точке а или

Наконец, такое же движение будет и в том случае, когда в момент

II. Предположим теперь, что, удаляясь от точка приближается к двойному (или более высокой кратности) нулю с функции Кривая касается оси в точке (рис. 1, b). В этом случае интеграл в правой части (1.2.11) расходится при с при

В случае, иллюстрированном на рис. 1, с, лежит между простым нулем а функции и двойным нулем с этой фупкции:

Если в момент то х сначала убывает и частица достигает точки а за конечное время; остановившись в этой точке на мгновение, она затем движется вправо, и с при

Если, наконец, при то точка продолжает двигаться вправо (при условии, что в начальный момент и уравнение (1.2.11) удовлетворяется во все время движения. При этом имеются две возможности.

III. Если интеграл в правой части (1.2.11) расходится при , то с ростом Если же интеграл сходится при к значению то при

Легко видеть, что ничто не изменяется и в том случае, когда при за исключением того, что при или может стремиться не к а к Классификация возможных случаев на этом завершается. Во всякой частной задаче достаточно посмотреть на график функции чтобы установить тип движения. В том частном случае, с которого мы начали рассмотрение этой задачи, функция имеет вид для любого заданного график определяет характер движения.

Рассмотрим теперь несколько простых примеров прямолинейного движения точки в силовом поле. Эти примеры элементарны и легко могут быть решены и без общей теории. Однако, отыскивая выражение х от полезно заранее знать тип осуществляющегося движения.

Пример Гармонический осциллятор. Действующая на частицу притягивающая сила направлена к фиксированной точке О оси и величина ее пропорциональна расстоянию от точки О. Приняв точку О за начало координат, можем написать

где положительная постоянная. Уравнение движения можно написать в виде

Решение этого линейного уравнения с постоянными коэффициентами легко получить, не обращаясь к общей теории; оно имеет вид

Здесь через а обозначено начальное (в момент значение х, а через начальное значение х. Формулу (1.2.15) можно также записать в форме

где

а а - угол в пределах определяемый равенствами

Уравнение (1.2.16) описывает движение по оси проекции на нее точки, движущейся по окружности с постоянной угловой скоростью Движение периодическое с периодом

Задача была решена нами непосредственно, рассмотрим теперь ее с точки зрения общей теории. Считая в точке О. имеем

Уравнение энергии (1.2.9) принимает вид

Постоянная очевидно, положительна. Если то мы имеем тривиальный случай, когда частица покоится в точке все время. Если положительно и равно где то функция имеет вид

и движение, очевидно, представляет собой либрацию между значениями Гармонический осциллятор является прототипом всех либрационньтх движений. Из формулы (1.2.12) легко находится период либрации. Чтобы проинтегрировать уравнение

введем вместо х параметр , определяемый формулой Без потери общности можно принять, что всегда возрастает вместе с t. Подставляя в (1.2.19), находим, что откуда . Таким образом, мы вновь приходим к решению (1.2.16).

Прежде чем закончить рассмотрение задачи о гармоническом осцилляторе, проследим еще раз за ходом рассуждений в связи с заменой одного уравнения второго порядка (1.2.14) двумя уравнениями первого порядка (§ 1.1). Эти уравнения имеют вид

Траектория изображающей точки в плоскости представляет собой эллипс

Точка проходит его по движению часовой стрелки. Еще проще в качестве переменной взять Уравнения при этом записываются в форме

Траекторией изображающей точки в плоскости является окружность, проходимая по ходу часовой стрелки с постоянной угловой скоростью В результате мы приходим к формуле (1.2.16). Можно было бы с самого начала заменить независимую переменную t переменной после чего исходное дифференциальное уравнение (1.2.14) принимает вид

Штрихами здесь обозначено дифференцирование по Это уравнение эквивалентно системе уравнений

из которых видно, что изображающая точка движется по окружности с угловой скоростью, равной единице, и с периодом по равным

Если материальная точка, находящаяся в силовом поле, выведена из состояния покоя в точке а, в которой функция класса имеет минимум, то ее движение приближенно является гармоническим. Для невозмущенного движения уравнение энергии (1.2.9) имеет вид

и кривая касается оси в точке а. В точке функция имеет максимум, и потому кривая в окрестности этой точки лежит под осью Если постоянная полной энергии возрастает от значения до значения где малое положительное число, то получаем либрацию между двумя значениями, лежащими вблизи а. Равновесие такого типа называется устойчивым. Уравнение энергии для возмущенного движения записывается в виде

Подставляя а вместо х, получаем

Величина остается малой во все время движения, поэтому можно написать приближенное равенство

Сравнивая (1.2.28) и (1.2.19), видим, что возмущенное движение приближенно можно трактовать как гармоническое колебание с периодом где и амплитудой

Пример 1.2В. Однородное силовое поле, В этом примере сила постоянна по величине и направлению, например, где Уравнение движения в этом случае имеет вид

Решение представляется отрезком ряда Тейлора

где начальные значения Равенство (1.2.30) может быть переписано в следующей форме:

где . В момент имеем ; в последующие моменты Уравтгеттие энергии записывается в форме

Этот пример относится к случаю III, так как при

Пример 1.2С. Рассматривается поле сил отталкивания, пропорциональных расстоянию от точки

Уравнение движения имеет вид

а решение его представляется формулой

где значения в момент Уравнение энергии записывается в форме

Если в начальный момент , то и график функции представляет собой параболу

Имеем лимитационное движение, в котором при пример, относящийся к случаю II. Решение уравнения (1.2.34) при данных начальных условиях имеет вид

при как это следует из теории.

Если в начальный момент то решением будет

и мы будем иметь случай III. Частица уходит в бесконечность гораздо быстрее, чем в однородном поле. В данном случае тогда как в случае однородного поля

Пример 1.2D. Притяжение по закону При действующая сила равна где целое число, большее единицы. Если частица удаляется от начала координат, начав движение из точки со скоростью, которой она достигла бы, двигаясь из состояния покоя из бесконечности (так что ), то имеем

Формула показывает, что в соответствии с теорией частица движется в бесконечность. Действительно,

где Мы снова имеем случай III. Частица движется в бесконечность медленнее, чем в однородном поле, так как теперь

Пример 1.2Е. Рассмотрим поле

Пусть частица начинает свое движение в момент из точки где она находилась в состоянии покоя. Решение будет иметь вид

при Этот пример относится к случаю IV. Уравнение энергии имеет вид