§ 22.7. Теорема возвращения (теорема Пуанкаре).
Рассмотрим автономную систему
обладающую двумя следующими свойствами:
1) 
, т. е. объем пространства переменных инвариантен относительно преобразования 
определяемого решениями уравнений (22.7.1) (иначе говоря, «жидкость несжимаема»). Как отмечалось выше, в наиболее интересном для нас случае уравнений Гамильтона это условие выполняется.
2) Существует замкнутая область и конечного объема 
такая, что начинающиеся в ней характеристики целиком располагаются в ней («жидкость движется в замкнутом сосуде»). Такая область преобразованием 
переводится в самое себя и поэтому называется инвариантной областью.
Теорема Пуанкаре устанавливает, что если а есть любая сколь угодно малая замкнутая подобласть области 
то существуют характеристики,
которые бесконечное число раз пересекают область а. Точнее, для любого сколь угодно большого значения 
можно указать такие движения системы, при которых изображающая точка для некоторого 
окажется в области а.
Для доказательства возьмем какую-нибудь замкнутую подобласть А области 
и рассмотрим изображающие точки (или частицы жидкости), которые в момент 
лежат в А. Пусть в момент 
эти точки образуют множество В, так что 
Множество В можно считать 
-образом множества А, а множество 
-прообразом В (см. § 21.12). Если А задано, то множество В однозначно определяется числом 0, и наоборот, если задано В, то множество А однозначно определяется значением 0. Более того, поскольку движение является установившимся, изображающие точки, лежащие в момент 
в момент 
располагаются в В, и наоборот, точки, лежащие в момент 
, в момент 
располагаются в А.
Рассмотрим теперь заданную замкнутую подобласть а и возьмем какое-нибудь положительное число 
например 
Обозначим 
-прообразы а через 
Все множества 
имеют одинаковый объем та и содержатся в множестве 
Если 
то области 
не могут не иметь общих точек. По крайней мере одна пара таких областей, скажем 
будет иметь общую часть 
объем которой 
отличен от нуля.
Отсюда следует, что и области 
имеют общую часть а того же объема 
. В самом деле, область 
является 
-образом области 
а область 
-образом области 
Возьмем теперь в качестве исходной области вместо а область а и снова повторим предыдущие рассуждения, приняв тот же основной интервал времени 
что и выше. Тогда найдется такое целое число 
что а и его 
-прообраз 
будут иметь общую часть 
конечного объема.
Продолжая таким образом, мы можем построить совокупность вложенных областей 
каждая из которых содержится в предыдущей. Эта последовательность сходится к предельному множеству X, которое представляет собой либо точку, либо замкнутую область и принадлежит всем областям 
Области 
обладают тем свойством, что изображающие точки, лежащие в момент 
в области 
в момент 
располагаются в области 
Рассмотрим теперь характеристику, начинающуюся в точке 
области 
изображающая точка 
в момент 
находится в положении 
Поскольку точка 
в момент 
лежит в области а, в момент 
она будет находиться в области а. Аналогичным образом, если в момент 
точка 
лежит в области 
то в момент 
она окажется в области а и, следовательно, в момент 
попадет в область а. Находясь в момент 
в области 
изображающая точка в момент 
попадет в область 
в момент 
в область а и в момент 
в область а. Продолжая эти рассуждения, мы приходим к выводу, что точка 
находится в области а в следующие моменты времени: 
и вообще при 
. С ростом 
сумма 
стремится к бесконечности, поскольку все 
целые положительные числа. Изображающая точка бесконечное число раз возвращается в область а, что и требовалось доказать.
Выше мы рассматривали положения точки 
лишь для дискретных моментов времени: 
но теорема, очевидно, справедлива и тогда, когда t изменяется непрерывно.
Движение, при котором система бесконечное число раз возвращается в окрестность начального состояния, Пуанкаре называл «устойчивым в смысле Пуассона».
Отметим, что основная идея в доказательстве теоремы Пуанкаре заключается в использовании теоремы Лиувилля о сохранении меры при преобразовании с помощью оператора 
Никакие другие свойства уравнений Гамильтона здесь не используются.
Ранее, при изучении квазипериодических движений (§ 18. 6), мы уже встречались с теоремой, близкой по своему характеру к теореме Пуанкаре. Было показано, что изображающая точка проходит бесконечное число раз в произвольной близости от своего начального положения в фазовом пространстве.
Теорему Пуанкаре можно считать отправным пунктом в новом подходе к задачам классической динамики. До сих пор мы полагали, что решить задачу динамики — это означает найти зависимость положения системы от времени t и заданных начальных значений координат и скоростей частиц. Для большей части задач, однако, такое решение получить не удается. Именно это обстоятельство вызвало столь большой интерес к теореме Пуанкаре и обусловило развитие связанных с нею теоретических вопросов. Основное внимание теперь уделяется не изучению индивидуальных свойств характеристик, а исследованию статистических свойств целого семейства характеристик.
