§ 20.5. Структура множества A.

Предположим снова, что предельное множество положительной полухарактеристики С не сводится к особой точке. Теперь мы знаем, что траектория, начинающаяся в точке множества целиком принадлежит этому множеству. Предположим, что множество содержит траекторию С, предельное множество которой (положительное или отрицательное) не сводится к одной особой точке. Тогда траектория С является циклической и

Докажем сначала, что С есть циклическая траектория. Пусть обыкновенная точка, скажем, положительного предельного множества кривой С. Множество составляет часть (поскольку С принадлежит и это множество замкнуто), так что Пусть будет отрезок без контакта, проходящий через точку Тогда пересекает в единственной точке Таким образом, пересекает С в одной-единственной точке следовательно, траектория С является циклической.

Докажем теперь, что Предположим противное: пусть множество точек, принадлежащих и не лежащих на Множества Ли С замкнуты, а множество открыто; поэтому существует предельная точка множества которая не лежит в Но точка лежит в так как это множество замкнуто, следовательно, Рассмотрим теперь отрезок без контакта проходящий через точку (которая является обыкновенной точкой и лежит на С). Пусть точка множества лежащая достаточно близко от точки Тогда будет обыкновенной точкой и проходящая через нее характеристика будет пересекать отрезок в точке которая будет отлична от так как характеристики не пересекаются. Но так как следовательно, вся характеристика, проходящая через точку принадлежит множеству Таким образом, отрезок содержит две различные точки принадлежащие множеству а это, как мы видели, невозможно. Следовательно, множество должно быть пустым и Множество сводится к циклической траектории.

Если траектория С циклическая, то Пусть С — не циклическая траектория. Рассмотрим отрезок без контакта проходящий через точку множества Последовательность точек пересечения кривой С с отрезком сходится к точке так что С представляет спираль, приближающуюся к множеству при В этом случае циклическая траектория называется предельным циклом.

Остается рассмотреть исключительный случай, когда множество не сводится к особой точке, но таково, что каждая траектория, полностью лежащая в обладает тем свойством, что ее положительное предельное множество является особой точкой и ее отрицательное предельное множество является особой точкой. В этом исключительном случае множество является псевдоциклической траекторией, т. е. представляет собой замкнутую кривую, составленную из траекторий, каждая из которых начинается и заканчивается в особой точке. Эти особые точки являются седловыми. Простейшим случаем псевдоциклической траектории является тот, когд одна траектория выходит из седловой точки и возвращается в нее. В другом простом случае имеются две различные седловые точки, которые соединяются двумя различными траекториями. Выше были приведены примеры обоих этих случаев: сепаратриса на рис. 89 дает пример первого случая, а сепаратриса на рис. 83 — пример второго случая.