Глава XIV. ТЕОРИЯ УДАРА

§ 14.1. Ударный импульс.

В этой главе мы перейдем к изучению очень быстрых (внезапных) изменений движения, происходящих при действии на систему ударных импульсов. Под ударными импульсами мы будем понимать предельный случай действия больших сил в течение коротких промежутков времени. Уравнение движения свободной частицы имеет вид

Если X есть известная функция от то можно написать

где через обозначено значение х в момент Мы будем рассматривать случай, когда величина мала, функция X в промежутке времени велика, а интеграл

имеет конечное значение; величину будем называть составляющей импульса.

Выше мы определили ударный импульс как предельный случай действия большой силы в течение малого промежутка времени. Физически правильней будет рассматривать не строгий математический предел при а считать очень малым, но конечным промежутком времени, т. е. считать физически малым, но не математически малым. Во всех практических случаях можно считать пренебрежимо малой величиной. За время от до конфигурация системы изменяться не будет, тогда как скорость в момент будет изменяться скачком. В задаче, в которой других сил, кроме ударных, нет, координаты сохраняют постоянные значения, скорости в момент задаются и требуется определить скорости в момент Поскольку координата х остается неизменной, вместо х удобнее писать и.

Уравнения (14.1.2) и (14.1.3) вместе с соответствующими уравнениями для координат у, z образуют систему уравнений

где ударный импульс, действующий на частицу в момент скорость частицы в момент (т. е. непосредртвенно перед приложением импульса), а скорость частицы в момент (т. е. непосредственно после приложения импульса). Уравнения (14.1.4) являются основными уравнениями в теории удара. Если частица перед приложением ударного импульса находилась в покое, то уравнения (14.1.4) принимают вид

т. е. импульс равен количеству движения, сообщенному частице, находившейся первоначально в покое. Этот результат аналогичен второму закону Ньютона: аналогом силы здесь является импульс силы, а аналогом произведения массы на ускорение — количество движения.

Подход, при котором сила является основным понятием, а импульс — производным, наиболее естествен и соответствует предыдущему изложению. Возможен, однако, и другой подход. Можно импульс считать основным понятием, а силу — производным. При такой точке зрения конечная сила, действующая в течение некоторого интервала времени, представляется как предельный случай действия большого числа малых импульсов в моменты, распределенные по всему интервалу.

Рассмотрим движение твердого тела, на которое действует ударный импульс. Так как заданные силы в течение короткого промежутка времени принимают большие значения, то реакции связи в течение этого времени также должны быть велики. Итак, мы будем предполагать, что реакции связи велики; кроме того, будем считать, что тело остается твердым. Эти предположения представляют дальнейшую идеализацию реальных (не абсолютно твердых) тел. Фактически под действием конечных сил и тем более под действием ударных сил все тела получают деформации. В рассматриваемой нами идеализированной теории тела не деформируются как при воздействии конечных сил, так и при воздействии ударных сил.

Если через X обозначить реакцию связи, действующую в течение времени от до то интеграл будет иметь конечное значение; мы будем называть его ударным импульсом сил реакции. Он является аналогом реакции связи в задачах с конечными силами. Мы будем предполагать, что при воздействии этих импульсов тело не деформируется, т. е. остается абсолютно твердым. В более общем случае, при переходе от задачи движения одного тела к задаче о движении системы тел, мы будем иметь в виду, что на систему могут действовать соответствующие ударные импульсы сил реакции.

Рассмотрим общий случай механической системы, на которую действуют ударные импульсы. Начнем с задачи, в которой заданные силы (и соответственно реакции связи) в течение малого промежутка времени принимают большие значения. Поскольку координаты частиц системы в течение этого промежутка времени практически не изменяются, остаются постоянными и коэффициенты в уравнениях связи (2.2.4), что сильно упрощает исследование.

В теории удара удобно пользоваться второй формой (4.1.3) основного уравнения:

Конечные вариации скорости А и удовлетворяют уравнению (4.1.2):

и так как коэффициенты постоянны, то можно указать системы удовлетворяющие уравнениям (14.1.7) в течение короткого промежутка времени от до

Мы воспользовались второй формой основного уравнения, до сих пор почти не употреблявшейся, так как с эстетической и логической точек зрения удобнее оперировать с вариациями скорости, нежели с виртуальными перемещениями; это объясняется тем, что в рассматриваемых задачах координаты частиц остаются постоянными.

Задачи на удар в математическом отношении проще, чем задачи с конечными силами. Уравнения для определения скоростей в момент являются линейными алгебраическими уравнениями, тогда как задачи с конечными силами приводятся к дифференциальным уравнениями. В общем случае решение задач на удар не встречает особых затруднений.