§ 24.5. Специальная форма уравнений преобразований. Бесконечно малые контактные преобразования.

Рассмотрим контактное преобразование, в котором переменные и (и, возможно, t) не связаны никаким тождественным соотношением. Положим в общих уравнениях преобразования (24.3.6) — (24.3.8)

где Тогда будем иметь

(Аналогичные формулы получаются и в том случае, когда производящая функция зависит от переменных

Формулы (24.5.2), (24.5.3) представляют особый интерес вследствие их сходства с уравнениями движения Гамильтона. Вспомним, что впервые рассмотренные нами контактные преобразования определялись движением динамической системы. Теперь мы видим, что и в общем случае контактные преобразования определяются уравнениями сходной структуры.

Это сходство становится еще более разительным, если правые части уравнений (24.5.2) — (24.5.4) считать малыми величинами; для этого достаточно положить, например, где малый параметр.

Если пренебрегать членами порядка то нет необходимости делать различие между величинами, выражаемыми малыми и большими буквами в членах, умножаемых на Учитывая это, мы приходим к уравнениям

в которых Определяемое этими уравнениями преобразование называется бесконечно малым контактным преобразованием. Его можно интерпретировать как изменение положения в фазовом пространстве, которое происходит в течение малого промежутка времени от t до для динамической системы с гамильтоновой функцией, равной