§ 5.2. Некоторые классические задачи.

Позже (в § 6.2) мы выведем уравнения Лагранжа, описывающие движение механической системы в лагранжевых координатах. Однако уже сейчас мы можем решить некоторые важные задачи, не пользуясь уравнениями Лагранжа. Рассмотрим пять задач. Четыре из них (примеры 5.2А, 5.2В, 5.2С и § 5.3) могут быть решены с помощью одних только законов сохранения энергии (3.4.5) и сохранения момента количества движения (3.2.12). В последней задаче (§§ 5.4, 5.5, 5.6) мы используем также уравнения движения в декартовых координатах.

Пример 5.2А. Простой маятник. Тяжелая точка движется без трения по окружности радиуса а в вертикальной плоскости. Система голономна с одной степенью свободы. В качестве лагранжевой координаты возьмем угол 9, отсчитываемый от наинизшей точки окружности. Заданной силой здесь является вес частицы, а реакцией связи — нормальная реакция проволоки (если представить, что бусинка скользит по гладкой проволоке) или натяжение стержня (если считать, что частица закреплена на конце невесомого стержня, другой конец которого шарнирно закреплен в неподвижной точке). Потенциальная энергия равна где высота частицы относительно центра окружности. Уравнение энергии имеет вид

Положим где безразмерная величина, а высота энергетического уровня над центром окружности (рис. 3). В этих обозначениях уравнение (5.2.1) переписывается в виде

Это уравнение принадлежит к типу (1.2.10), и решение его уже было нами исследовано. Если то движение невозможно. График правой части уравнения (5.2.2), приведенный на рис. 4, показывает, что могут иметь место четыре следующих случая:

1) ; частица находится в покое в положении устойчивого равновесия при

2) ; частица совершает либрационное движение в пределах от —а до а, т. е. совершает типичное для маятника движение;

3) ; частица находится в покое в положении неустойчивого равновесия при или совершает лимитационное движение, при котором (или —я), когда

Рис. 3.

Рис. 4.

4) ; угол непрерывно возрастает вместе с t (если в начальный момент

Рассмотрим эти случаи более подробно.

1) При изменении от —1 до имеют место малые колебания около положения с периодом и амплитудой (см. пример 1.2А).

Полагая

находим

Решение, удовлетворяющее условию при имеет вид

Таким образом, окончательно получаем

где а обозначает угловую скорость в момент, когда Период равен Заметим, что с ростом а от до период монотонно возрастает от до

Рассмотрим лимитационное движение, приняв в момент Имеем

Отсюда

Этот результат можно представить в более удобной форме. Пользуясь равенством

находим

откуда

и окончательно

Последняя форма (5.2.7), по-видимому, наиболее удобна. Заметим, что (как уже известно из общей теории) и при

Если положить то и приближенно . В этом случае имеем где и окончательно

При этом, как и ранее, предполагалось, что при

Движение является периодическим. непрерывно возрастает, но является циклической координатой: значения эквивалентны, поскольку соответствуют одному и тому же положению системы. Период равен

Таким образом, для трех последних случаев имеем

В заключение напишем дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемое движение:

Его можно вывести из уравнения (5.2.1) или получить непосредственно. И обратно, из уравнения (5.2.10) легко вывести уравнение (5.2.1). Если рассматривать малые колебания около положения устойчивого рановесия то приближенная форма уравнения совпадает с уравнением гармонического движения

Период колебаний, как уже отмечалось, приближенно равен

Зависимость от получаемая в результате решения уравнения (5.2.10), представлена графически на рис. 5 для различных положительных значений . При , превышающих критическое значение переменная всегда возрастает с ростом t. В этом случае вместо значения в промежутке

можно взять соответствующее значение в промежутке представляющее ту же самую точку окружности, что и делалось при построении графика.

Рис. 5

Приближенное вычисление периода. В случае 2), когда маятник совершает колебания с амплитудой а, период равен . Этот результат является точным, однако существуют различные приближенные способы вычисления периода, в которых не используются эллиптические функции.

Прежде всего заметим, что для малых колебаний хорошим приближением для периода служит если а достаточно мало. Если а представляет собой острый угол, то

Рассмотрим ту четверть периода, в которой значения и положительны. Когда х увеличивается от до а, отношение монотонно убывает от 1 до так что при заданном имеем

и

Таким образом, величина четверти периода

заключена между пределами

а значение а — между пределами

Если амплитуда составляет 5°, то значение приближенно равно 1,0007 и классическое значение отличается от точного менее чем на одну десятую процента.

Можно получить более точную оценку периода, если воспользоваться одной теоремой, относящейся к арифметическому и геометрическому средним значениям. Пусть два заданных положительных числа, таких, что Образуем две бесконечные последовательности по следующему правилу: при представляет собой среднее арифметическое чисел среднее геометрическое этих же чисел. Последовательность тогда будет монотонно убывающей, а монотонно возрастающей, и при обе эти последовательности стремятся к одному и тому же пределу Для каждого значения справедливы неравенства и величина аппроксимирует с ошибкой, меньшей чем Рассмотрим теперь интеграл

С помощью подстановки

докажем, что

Продолжая этот процесс, убедимся, что для всех значений

Значение лежит между пределами и каждый из которых стремится к значению таким образом,

Для того чтобы оценить быстроту сходимости, можно воспользоваться равенствами

и

Первое из них получается сразу, если заметить, что левая и правая части порознь равны

Пользуясь этими результатами, найдем приближенное значение периода соответствующего амплитуде а Обозначая через

период малых колебаний, получаем из (5.2.3)

где следовательно,

причем а. Первые несколько членов последовательностей имеют следующий вид:

В качестве приближенного значения для можно взять или Чтобы оценить величину относительной ошибки, введем параметры

Тогда, учитывая соотношения находим

Полагая и пользуясь (5.2.23), можем написать

Здесь

Кроме того,

и, следовательно,

Обозначим правую часть последнего неравенства через . Это неравенство справедливо для но при а, слишком близких к , оно становится бесполезным. Если же что представляет наиболее интересный случай, то правая часть неравенства (5.2.33) будет максимальной

при в этом случае

и

поскольку Окончательно будем иметь

Здесь

Для большей части приложений такая точность вполне достаточна, но если требуется более высокая точность, можно взять что даст ошибку

Пример 5.2В. Центральная орбита. Выберем центр притяжения за начало координат, а в качестве лагранжевых координат возьмем полярные координаты точки Силовыми линиями здесь будут радиусы, а эквипотенциальными линиями (ортогональными семейству силовых линий) — окружности Потенциальная функция будет зависеть поэтому только от обозначим ее через так что 93 будет потенциальной энергией единицы массы. Сила притяжения также будет зависеть только от Если мы имеем поле сил притяжения к точке О, то является монотонно возрастающей функцией от

Имеем интеграл энергии и интеграл момента количества движения:

Предположим для определенности, что положительное число, так что возрастает вместе с t. В поле сил притяжения орбита располагается внутри окружности если такая окружность существует. Исключая 0, находим

Это уравнение принадлежит к типу (1.2.10), и решение его нами уже изучалось. В простейших случаях начальное значение лежит между последовательными простыми вещественными нулями функции где через обозначена правая часть уравнения В радиальном направлении движение представляет собой либрацию между пределами называемыми апсидалъными расстояниями, и орбита попеременно касается окружностей радиусов Точки касания, в которых достигает минимального и максимального значений, называются апсидами; та из них, в которой называется перигелием, а та,

в которой называется афелием. Угловая скорость изменяется от наименьшего значения афелии) до наибольшего значения перигелии). Угол, на который поворачивается радиус-вектор между двумя последовательными апсидами, называется апсидалъным углом.

Связь между выражается следующим соотношением:

Знак здесь выбирается согласно правилу, указанному в § 1.3. Таким образом, если частицы в момент находится в перигелии, то

(знак в правой части для краткости записи опущен).

Связь между и может быть представлена в форме

причем знак перед корнем определяется так, как указывалось выше. Если в перигелии то уравнение орбиты будет иметь вид

Апсидальный угол равен

Орбита представляет собой простую замкнутую кривую С одним перигелием и одним афелием, если Если отношение есть число рациональное, т. е.

где целые числа, не имеющие общего множителя, то орбита является периодической с периодом

Особый интерес представляют два частных случая. В изотропном осцилляторе притяжение пропорционально расстоянию от точки О, функция имеет вид и орбита представляет собой эллипс с центром в точке О. Апсидальный угол равен В случае же притяжения точки по закону Ньютона сила обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки Орбитой является коническое сечение, один из фокусов которого расположен в точке О. Если начальная скорость не превышает величины где начальное расстояние от точки О, то это сечение есть эллипс. Апсидальный угол равен . Особенностью обеих задач — задачи об изотропном осцилляторе и задачи о движении в гравитационном поле по эллиптической орбите — является то, что орбита всегда периодическая, каковы бы ни были начальные условия.

Остановимся на этих задачах немного подробнее.

1) Изотропный осциллятор. Имеем

Здесь расстояние до афелия обозначено через а, а расстояние до перигелия через Дифференциальное уравнение орбиты имеет вид

Полагая получаем его в виде

где Если положить

то найдем, что , и уравнение орбиты перепишется в виде

Осуществляя поворот осей на угол ему можно придать форму уравнения эллипса с центром в точке О:

Имеем

Отсюда

Эксцентрический угол точки на эллипсе, в которой находится частица, возрастает пропорционально времени

Вычисление в декартовых координатах в этой задаче было бы проще, чем в полярных.

2) Движение точки в гравитационном поле. В этом случае

движение представляет собой либрацию между где нули выражения Дифференциальное уравнение орбиты (если отношение заменить на будет иметь вид

Чтобы проинтегрировать это уравнение, введем параметр определив его следующим соотношением:

Находим Орбитой, таки, служит кривая

причем угол отсчитывается от перигелия. Если, как обычно, написать

то уравнение примет вид

где Мы получили уравнение эллипса с эксцентриситетом и фокальным параметром Поскольку постоянная энергии равна

Координата определяется из уравнения

Введем параметр

так что есть эксцентрический угол, отсчитываемый от перигелия. Имеем

Интегрируя, получаем

где через обозначена величина среднее движение. Соотношение (5.2.65) известно как уравнение Кеплера; оно выражает связь между положением тела на эллиптической орбите и временем.

Пример Теорема Ньютона о вращении орбиты. Рассмотрим теперь движение, возникающее при наложении на гравитационное поле дополнительного притяжения Чтобы решить эту задачу, заменим функцию на функцию

а функцию на функцию

где а у — постоянные энергии и момента количества движения в новом движении. Если положить

то функции окажутся одинаковыми. Чтобы убедиться в том, что движение с такими значениями и возможно, рассмотрим апсиду первоначальной орбиты, в которой и скорость равна и.

Если в той же начальной точке сообщить частице под прямым углом к радиус-вектору скорость, равную

то будем иметь

и условия (5.2.68) будут удовлетворяться.

Если в обеих задачах при принять то связь между будет одной и той же. Если в первоначальной задаче орбита задается уравнением

то в новой задаче она будет описываться соотношением

где Чтобы достигнуть значения соответствующего в первой орбите, радиус-вектор во второй орбите должен повернуться на больший угол: Поэтому влияние дополнительного притяжения можно представить как вращение первоначальной орбиты.