§ 20.2. Положительное предельное множество.

Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области (§ 19.3). Будем отмечать положение изображающей точки на полухарактеристике С в момент t посредством вектора так что при 0. Обозначим через I точку такую, что

где последовательность задается неравенствами

вместе с

Множество таких точек I называется положительным предельным множеством или множеством предельных точек для рассматриваемой траектории; обозначим его через Точки I множества называются -точками. Л-точки кривой С являются предельными точками (точками сгущения) этой кривой, но не все предельные точки С принадлежат к числу -точек.

Л-точка кривой С может лежать на этой кривой, а может и не лежать на ней. В некоторых простых случаях положительное предельное множество находится без труда. Если при стремится к устойчивой особой точке то Если полухарактеристика С циклическая, то каждая ее точка является -точкой и других -точек не существует. Таким образом, если С — циклическая полухарактеристика, то В дальнейшем мы увидим, что во многих случаях множество само составляет циклическую траекторию, а С представляет собой спираль, приближающуюся к когда t стремится к бесконечности.

Рассмотрим теперь основные свойства положительного предельного множества К ним относятся следующие свойства: 1) множество не является пустым; 2) множество является замкнутым; 3) множество является связным; 4) если то вся траектория, проходящая через I (т. е. и положительная и отрицательная полухарактеристики, начинающиеся в точке I), принадлежит множеству

Мы уже отмечали выше, что свойство 1) справедливо для циклической характеристики. Пусть теперь С не является циклической. Рассмотрим множество точек Оно является бесконечным и ограниченным, причем все элементы его различны и существует по крайней мере одна

предельная точка, которая является -точкой С. Доказательство свойства 2) аналогично доказательству известного факта, что производное множество заданного множества является замкнутым.

Для доказательства свойства 3) нужно показать, что не может состоять из двух (или более) непустых замкнутых множеств, не имеющих общих точек. Предположим противное: пусть состоит из двух не связанных между собой непустых множеств Тогда эти множества отделены друг от друга; обозначим расстояние между ними через 6. Пусть точка а принадлежит множеству А, а точка множеству В. Возьмем любое положительное число Тогда можно указать такое число большее чем чтобы выполнялось неравенство

а также такое число большее чем чтобы выполнялось неравенство

Из неравенства (20.2.3) следует, что

и, следовательно,

и

Аналогично

так что функция

отрицательна при и положительна при В силу непрерывности функции существует такое число 0, лежащее между для которого При любом выборе можно указать такое 0, большее для которого

Таким образом, можно построить возрастающую последовательность стремящуюся к бесконечности и обладающую тем свойством, что

Пусть предельная точка множества тогда и

Однако последнее равенство невозможно, так как точка принадлежит либо множеству А, либо множеству В. Итак, предположение о том, что состоит из двух отдельных множеств, привело к противоречию; аналогично доказывается, что не может состоять из нескольких множеств. Таким образом, является непустым замкнутым связным множеством.

Наконец, чтобы доказать свойство 4), обозначим через траекторию, выходящую из точки I, так что Рассмотрим последовательность монотонно возрастающую до бесконечности и такую, что

Пусть заданное положительное или отрицательное число. Тогда

и, следовательно,

так как решения дифференциальных уравнений для всех конечных t зависят непрерывным образом от начальных значений. Поэтому для всех что и завершает доказательство.

Итак, резюмируя сказанное, можно утверждать, что если множество не состоит из одной-единственной особой точки, то оно является непустым замкнутым множеством, образованным из полных траекторий.