§ 23.8. Устойчивость траекторий (2).

Поскольку понятие устойчивости по Ляпунову не является исчерпывающим для задач классической динамики, мы будем пользоваться другим определением устойчивости. Существует много различных определений, одно из простейших состоит в следующем: траектория С (в фазовом пространстве) устойчива, если траектория С, начинающаяся в точке фазового пространства, достаточно близкой к начальной точке траектории С, такова, что всякая точка траектории С находится вблизи от некоторой точки траектории С. Это условие является более слабым, нежели предыдущее, поскольку хотя здесь и требуется, чтобы точка на траектории С была близка к некоторой точке траектории С, однако эти точки не обязательно должны проходиться в один и тот же момент времени. Устойчивость такого типа принято называть орбитальной устойчивостью

Критерий орбитальной устойчивости можно выразить в следующих формах.

1) Характеристика устойчива, если для заданного существует положительное число такое, что если то всякому положительному числу t можно поставить в соответствие такое положительное что

2) Обозначим через расстояние точки у от положительной полухарактеристики С (иными словами, точная нижняя грань расстояний точки у от точки у на кривой С). Характеристика С, составленная из точек для устойчива, если для всякого заданного можно указать такое положительное х, что для всех положительных значений если

Рассмотренные выше движение в однородном поле и либрационное движение являются устойчивыми в указанном смысле. Рассмотрим движение в однородном поле; введем новую независимую переменную (считая ):

Тогда будем иметь (см. уравнения (23.7.38))

и орбитальная устойчивость очевидна. Нетрудно провести формальное доказательство и для либрационного движения, но еще проще воспользоваться непосредственными геометрическими соображениями. В исходном либрационном движении траектория в плоскости (где ) является простой замкнутой выпуклой кривой, симметричной относительно оси (см. рис. 74) траектория же в возмущенном движении представляет замкнутую выпуклую кривую, почти совпадающую с первой, так что, орбитальная устойчивость очевидна.

Другим примером может служить круговая орбита в поле ньютоновского притяжения. Легко видеть, что траектория (в фазовом пространстве) неустойчива в смысле Ляпунова, но обладает орбитальной устойчивостью.

В качестве еще одного примера рассмотрим систему

где Решением, соответствующим начальной точке будет

и движение будет представлять равномерное вращение по окружности с периодом Равновесие в точке О будет устойчивым. Круговые траектории неустойчивы по Ляпунову, но обладают свойством орбитальной устойчивости.

Понятие орбитальной устойчивости можно расширить и включить в него аналог асимптотической устойчивости. Будем называть траекторию С асимптотически устойчивой в орбитальном смысле, если при всякий раз, когда Например, в теории предельных циклов (гл. XX) мы установили, что в окрестности устойчивого предельного цикла траектории имеют вид спиралей, приближающихся к предельному циклу; таким образом, устойчивый предельный цикл асимптотически устойчив в орбитальном смысле. Конкретной иллюстрацией может служить пример в котором система обладает как асимптотической устойчивостью в орбитальном смысле, так и устойчивостью (но не асимптотической) в смысле Ляпунова

Существует еще много других определений устойчивости движения. Можно, например, принять определение, аналогичное орбитальной устойчивости, но связанное не с фазовым пространством, а с траекторией в -пространстве. Согласно этому определению движение является устойчивым, если траектория в -пространстве, соответствующая слегка измененным начальным условиям, располагается вблизи от невозмущенной траектории. Наглядный пример орбитальной устойчивости такого типа приведен в § невозмущенное движение в этом примере представляет движение по замкнутой кривой причем Некоторые другие определения устойчивости приводились нами в § 17.5 и в § 22.7.