Глава XIX. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ, ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ

§ 19.1. Дифференциальные уравнения.

В предыдущих главах были установлены некоторые принципы, дающие возможность решать ряд динамических задач или по крайней мере существенно продвинуться в этом направлении. Ряд задач относится к системам, которые обладают определенными свойствами, упрощающими исследование, например свойством разделимости переменных (гл. XVII и XVIII). Настоящая глава посвящена одной общей задаче теории дифференциальных уравнений, имеющей непосредственное отношение к классической механике.

Уравнения движения голономной системы кратко могут быть записаны в следующей векторной форме (6.4.4):

Здесь Число т. е. равно удвоенному числу степеней свободы механической системы. В скалярной форме уравнения имеют вид

В задачах динамики система зависимых переменных разбивается на связанных менаду собою пар. В уравнениях Лагранжа ими являются переменные и уравнения имеют форму (6.4.3):

В уравнениях Гамильтона такими парами переменных служат (см. (10.3.8)):

Для наших целей в этой и следующей главе подразделение переменных на пары не понадобится.

В большей части задач, представляющих практический интерес, функции зависят только от и не зависят от t. Системы такого рода называются автономными. Неавтономную систему (19.1.2) с зависимыми переменными можно рассматривать как автономную систему с зависимыми переменными:

Свойства решений системы (19.1.2) определяются свойствами функций чем больше предположений сделано относительно этих функций, тем больше соображений можно высказать относительно решений. Напомним коротко основные результаты из теории дифференциальных уравнений. Сначала будем предполагать, что все переменные

вещественны, а затем покажем, что некоторые результаты можно распространить и на случай комплексных переменных.

1) Основная теорема существования для уравнений (19.1.2) впервые была доказана Пеано в 1885 г. Предположим, что функции X однозначны и непрерывны в области которая является связным открытым множеством вещественного -мерного евклидова пространства Пусть будет точкой пространства Основной результат заключается в том, что существует решение уравнений (19.1.2), проходящее через точку Точнее, существуют положительное число функций определенных на промежутке времени I,

и обладающих следующими свойствами:

b) существует и непрерывна в

c) точка лежит в области если

d) функции удовлетворяют уравнениям (19.1.2).

Промежуток времени I можно взять замкнутым, если условиться считать, что производные на концах промежутка равны их односторонним значениям.

Выше речь шла о фиксированной начальной точке области В более общем случае можно считать, что начальная точка выбирается произвольно среди иочек некоторой подобласти области при этом решение будет зависеть не только от но от то параметров: Получаем

2) Основная теорема существования ничего не говорит о единственности решения. В общем случае решение не является единственным, если только функции X не подчинены некоторым дополнительным ограничениям. Для доказательства достаточно рассмотреть простой пример, в котором

Областью в данном случае будет вся плоскость В полуплоскости решение имеет вид

а в полуплоскости х О

Кроме того, имеем решение справедливое для всех t. Зависимость от t для этих решений показана графически на рис. 72. Из рисунка видно, что решение, соответствующее начальной точке не является единственным (одно из возможных решений отмечено на рисунке жирной линией). Если то в некоторой окрестности точки решение единственно; если же то окрестности в которой решение единственно, не существует.

Рис. 72.

3) Промежуток времени I в формулировке основной теоремы существования в общем случае не является наибольшим промежутком, в котором существует решение, проходящее через точку Обычно этот промежуток можно расширить влево и вправо и получить решение, определенное на максимальном открытом интервале называемом естественным интервалом определения решения. При этом числа зависят от выбора точки и выбранной ветви решения, если оно не единственно. В рассмотренном примере а может равняться а может равняться так что имеются четыре типа естественного интервала определения решения.

Если функции ограничены в области то при стремлении t к конечной граничной точке естественного интервала (если такая точка существует)

решение стремится к точке, расположенной на границе области

4) Положение существенно упрощается, если дополнительно предположить, что функции принадлежат к классу в области Это предположение приводит к следующим важным следствиям:

a) Решение, проходящее через точку

является единственным.

b) Рассмотрим совокупность решений, проходящих через точки подобласти области Из сделанного предположения (о том, что каждое в области ) следует ряд свойств решений как функций от Именно, функции имеют первые производные и эти производные непрерывны в области определяемой условием

c) Вторые производные существуют и непрерывны в области

d) В некоторых задачах функции X содержат параметры Обычно приходится иметь дело со случаем, когда значения принадлежат некоторой области например окрестности выбранной точки ). Решения будут зависеть от параметров X (а также, конечно, от

Это решение определено в интервале причем пределы зависят теперь, помимо еще от параметров Я. Если считать, что функции принадлежат классу в области определяемой условием

то первые производные и вторые производные существуют и непрерывны в области

В дальнейшем, если не будет оговорено противное, всюду будет предполагаться, что функции удовлетворяют условиям, сформулированным выше в пп. 4) и 5), так что можно считать, что решения обладают соответствующими свойствами дифференцируемости.

Вернемся теперь к исследованию уравнений (19.1.2). Будем их рассматривать как уравнения, описывающие движение изображающей точки в -мерном пространстве; движение этой точки является отображением движения динамической системы (не только в -пространстве, но и в фазовом пространстве). Рассматриваемое -мерное пространство можно считать евклидовым пространством с прямоугольными координатами

Иногда уравнения (19.1.2) удобно рассматривать не как уравнения, описывающие движение изображающей точки, а как уравнения, определяющие движение жидкости в -мерном пространстве. Скорость жидкости в точке в некоторый момент t будет Такое представление позволяет нам вместо одного движения рассматривать целую совокупность возможных движений (или по крайней мере движений, начинающихся в некоторой области -мерного пространства Это особенно важно в случае автономной системы; движение жидкости при этом оказывается установившимся, т. е. скорость жидкости в любой заданной точке одна и та же для всех значений времени t.

Иногда уравнения (19.1.2) удобно записывать в следующей форме:

Эта форма записи особенно полезна в случае автономной системы.

Решения уравнений (19.1.2) имеют вид

Если функции X обладают указанными выше свойствами, то существует единственное движение изображающей точки, при котором в момент принимает значение а. Кривые в -мерном пространстве определяемые уравнениями (19.1.5), называются характеристиками.

В случае автономной системы обычно принимают (что не нарушает общности), так что при Функции определяют векторное поле в -мерном пространстве х. Кривые в пространстве х, которые описывает изображающая точка безотносительно ко времени, называются траекториями. Траектории представляют собой проекции характеристик на пространство х. Уравнения (19.1.5), определяющие характеристики, одновременно дают параметрическое представление траекторий (через параметр

Кривые, определяемые уравнениями

называются силовыми линиями. Через каждую обыкновенную точку поля проходит единственная силовая линия, но через особые точки могут проходить несколько силовых линий (например, через точку, в которой

Траектории представляют собой дуги силовых линий, хотя, строго говоря, эти кривые не тождественны. Например, если а — особая точка, то начинающаяся в ней траектория есть сама точка. Силовая линия может проходить через особую точку, тогда как соответствующая траектория никогда ее не достигает. Задача отыскания характеристик распадается на два этапа: определение траекторий и установление связи между положением точки на траектории и временем. После того как траектории найдены, второй из этих этапов осуществляется просто, по крайней мере теоретически. Предположим, что траектория задана в виде

Тогда связь между положением точки на траектории и временем определяется из уравнения

где

В случае автономной системы, если выходящая из точки а в момент характеристика задается уравнениями

то другая характеристика описывается уравнениями

Все характеристики (19.1.11), соответствующие различным значениям расположены на одной и той же траектории; различие между ними состоит лишь в том, что изображающая точка при своем движении по разным характеристикам проходит данное положение на траектории в различные моменты времени.

В случае автономной системы, если движение точки начинается в момент из положения А в -мерном пространстве, то последующие (при положения изображающей точки составляют положительную полухарактеристику, исходящую из точки А. Аналогично, положения, занимаемые изображающей точкой в моменты при условии, что в момент

она попадает в положение А, составляют отрицательную полухарактеристику, начинающуюся в точке

Решения уравнений (19.1.2) обладают рядом важных и интересных свойств, в особенности для автономной системы; с некоторыми из них мы познакомимся в гл. XXI. Однако единственным случаем, для которого в настоящее время развита достаточно полная теория, является случай автономной системы при Именно этот случай будет предметом рассмотрения этой и следующей глав. Простейшим примером может служить прямолинейное движение частицы под действием силы, зависящей от (но не от t). Возникает вопрос: почему нельзя обобщить полученные результаты на случай Невозможность такого обобщения связана, в частности, с тем обстоятельством, что, согласно теореме Жордана, простая замкнутая кривая расположенная в плоскости делит область на две отдельные области, внутреннюю и внешнюю, с общей границей . В пространстве более чем двух измерений подобная теорема не имеет места.