§ 18.6. Угловые переменные.

Вернемся к задаче с степенями свободы. Введенные в § 18.5 координаты сами по себе не играют особенно большой роли, основное значение для теории имеют некоторые линейные комбинации этих координат, называемые угловыми переменными. Роль координат заключается в том, что они облегчают переход к угловым переменным. Рассмотрим неособое линейное преобразование

В матричной форме его можно записать в виде

где матрица-столбец матрица-столбец матрица размером

Если увеличивает свое значение на единицу, в то время как остальные остаются неизменными, то возрастают соответственно на

т. е. на соответствующие периоды, остаются без изменений. Эти последние переменные являются периодическими функциями от с периодом, равным единицё по каждому Величины называют угловыми переменными (хотя такое наименование было бы более подходящим для переменных имеющих период по каждому Если величины интерпретировать как угловые переменные на -мерном торе, то будет существовать взаимно однозначное соответствие между точками этого тора и соответствующей областью фазового пространства. В общем случае координаты могут быть представлены в форме рядов Фурье по

где индекс принимает все целые значения, положительные, отрицательные или нуль.

Движение в пространстве является равномерным и прямолинейным:

Здесь через обозначена матрица, обратная матрице . Подставляя вместо их значения в момент а именно:

получаем

где вместо использован символ а через обозначено выражение

Постоянные называют частотами движения. Если величину рассматривать как угол, составленный вращающимся вектором с неподвижным направлением, то будет выражать число оборотов в секунду.

Конфигурация системы в произвольный момент t определяется уравнением

Каждая функция периодична по любому из своих аргументов с периодом, равным единице. Однако, как уже указывалось ранее, функции вообще говоря, не являются периодическими по t. Координаты будут периодическими функциями t с периодом а в том случае, если все величины

будут целыми числами. Такой множитель существует только тогда, когда все отношения суть числа рациональные. Замкнутая периодическая орбита получается лишь при условии, что частоты связаны независимыми линейными соотношениями с целыми коэффициентами.

Если указанное условие не выполняется, изображающая точка в пространстве никогда не возвращается в первоначальное положение; то же самое можно сказать и относительно фазового пространства. Но даже если это условие не выполняется, т. е. не существует множителя такого, что все величины представляют собой целые числа, то все же можно выбрать такое произвольное (большое) число что все эти величины будут сколь угодно мало отличаться от целых чисел. Это — одна из форм, выражающих теорему Дирихле. Вследствие равномерной непрерывности (как функций от аналогичное утверждение можно высказать и относительно фазового пространства. Можно указать такое, достаточно большое, значение времени по истечении которого изображающая точка в фазовом пространстве окажется в заданной окрестности своего исходного положения. Это объясняет термин «квазипериодическое движение».