§ 20.3. Отрезок без контакта.

Отрезком без контакта будем называть конечный замкнутый отрезок прямой, обладающий тем свойством, что ни в одной его точке нормальная к нему составляющая поля не обращается в нуль. Иными словами, отрезок без контакта не касается ни одной траектории и не проходит ни через одну особую точку. Отрезок без контакта, проходящий через точку представляет отрезок, для которого эта точка является внутренней. Ясно, что через всякую обыкновенную точку можно провести бесконечное число отрезков без контакта. Установим основные свойства таких отрезков.

1) Если положительная полухарактеристика С пересекает отрезок без контакта больше одного раза, то она пересекает его всегда в одном и том же направлении. В самом деле, если бы С пересекала в точках и с разных сторон, то нормальная составляющая вектора имела бы в этих точках противоположные знаки, и так как она изменяется вдоль непрерывным образом, то нашлась бы точка между в которой нормальная составляющая обращалась бы в нуль. Однако последнее невозможно, поскольку является отрезком без контакта.

2) За конечный промежуток времени траектория С может пересекать отрезок лишь конечное число раз. Предположим противное: пусть в промежутке имеется бесконечное число моментов таких, что В этом случае никакие две точки не совпадают. Если бы такое совпадение имело место, то траектория либо представляла бы собой особую точку, лежащую на но это невозможно по условию, либо была бы циклической. В последнем случае траектория имела бы период о и число пересечений ее с отрезком в интервале было бы конечным. Таким образом, все точки различны.

Значения имеют предельную точку Можно выбрать точку как угодно близко к точке так чтобы хорда стремилась принять направление касательной к траектории С в точке Тогда в точке кривая С касалась бы отрезка но это невозможно в силу определения отрезка без контакта. Таким образом, предположение о том, что траектория за конечный промежуток времени пересекает отрезок без контакта бесконечное число раз, приводит к противоречию.

3) Если точка, лежащая вблизи отрезка без контакта то проходящая через эту точку траектория пересекает отрезок Прежде всего уточним формулировку теоремы. Пусть внутренняя точка заданное положительное число. Тогда существует положительное число такое, что если то начинающаяся в точке положительная или отрицательная полухарактеристика пересечет отрезок через промежуток времени, не превышающий длительности интервала ; если есть траектория, для которой то существует число такое, что

Прежде чем переходить к доказательству, введем новые переменные путем аффинного преобразования, при котором отрезок переходит в

отрезок на оси а точка в начало координат. Траектория, начинающаяся при в точке , представляет собой кривую Обозначим составляющие через

Требуется доказать, что при достаточно малом уравнение

имеет решение

причем это решение таково, что и точка лежит внутри Производная

не обращается в нуль в точке так что при достаточно малом Ухо решение наверняка существует. Кроме того, и функция непрерывна по так что мало, если мало Наконец, если малы, то мало и х, что завершает доказательство.