§ 9.9. Спящий волчок.

Если волчок находится в покое в положении, когда ось его вертикальна, а центр тяжести расположен выше точки подвеса, то равновесие его не будет устойчивым. Но, как хорошо известно, если привести волчок в быстрое вращение, то вертикальное положение его станет устойчивым. Более точно, достаточным условием устойчивости будет Если это условие выполняется и если начальное смещение оси от вертикали и начальная угловая скорость малы, то они будут малыми в течение всего времени движения. В этом случае (когда линейная аппроксимация служит хорошим приближением к действительному движению в окрестности положения равновесия.

Из опыта известно, что вертикальное положение спящего волчка устойчиво, если скорость вращения достаточно велика. Формальное

доказательство устойчивости можно провести с помощью метода, аналогичного тому, которым мы пользовались при получении интеграла энергии в теории малых колебаний (§ 9.1). Если через х, у, z обозначить направляющие косинусы оси волчка и ось направить вертикально вверх, то интегралы энергии и кинетического момента относительно оси запишутся в форме (см. § 8.7)

Но

Положим и будем отсчет производить от положения равновесия; тогда у, z в окрестности положения равновесия будут малы. Интегралы (9.9.1) и (9.9.2) теперь примут вид

Кроме того,

Теперь можно образовать интеграл, имеющий вид определенно-положительной квадратичной формы от переменных Из соотношений (9.9.4) и (9.9.5) получаем новый интеграл

который в силу (9.9.6) эквивалентен следующему:

Если в начальный момент малы, то постоянная С тоже мала. Если то левая часть равенства (9.9.8) является определенно-положительной квадратичной формой. Отсюда следует (см. § 9.1), что остаются малыми в течение всего времени движения. Можно указать границы изменения переменных, например:

Таким образом, устойчивость заведомо доказана; поэтому, если начальное возмущение мало, линейная аппроксимация дает достаточно хорошее приближение к движению (по крайней мере, для не слишком большого промежутка времени).

Существует и другой подход к рассматриваемой задаче. Мы остановимся на нем, так как он типичен для многих задач и сыграл важную роль в истории динамики.

Пусть известно положение равновесия механической системы. Выберем лагранжевы координаты так, чтобы они в этом положении равнялись нулю. (Или могут обозначать, как здесь, явные координаты в гироскопической системе; имеется положение кажущегося равновесия, и выбираются так, чтобы в этом положении они равнялись нулю.) Требуется определить, является ли положение равновесия устойчивым; иными словами, если

в момент малы, то будут ли они малыми в течение всего времени движения? Чтобы получить ответ на этот вопрос, составляют приближенные линейные уравнения движения. Если мы имеем независимое доказательство, что отклонение должно оставаться майым, как, например, в данной задаче или в задаче о малых колебаниях около положения, соответствующего минимуму потенциальной энергии, то линейная аппроксимация служит достаточно хорошим приближением к возмущенному движению. Если, однако, мы не имеем такого независимого доказательства, то следует проявлять осторожность. Если линейное приближение показывает устойчивость (т. е. при малости начальных значений остаются малыми в течение всего времени движения), то говорят, что положение равновесия устойчиво по первому приближению. Трудность заключается в том, что устойчивость по первому приближению еще не означает, что мы получим устойчивость, когда от линейного приближения перейдем к точным уравнениям.

Для исследования вопроса об устойчивости положения равновесия введем лагранжевых координат определяющих отклонение от этого положения (см. § 9.1), и составим дифференциальных уравнений второго порядка. Устойчивость требует, чтобы как так и оставались малыми. Или же можно составить систему уравнений первого порядка (относительно или Тогда устойчивость будет требовать лишь малости отклонений от положения равновесия. Для механической системы это требование означает малость как скоростей, так и отклонений. Если уравнений второго порядка заменить на уравнений первого порядка, то последние запишутся в форме (6.4.4):

Положениям равновесия соответствуют особые точки векторного поля т. е. точки, где все составляющие X обращаются в нуль. Поместим начало координат в такую точку. Поскольку уравнения имеют первый порядок, последующее движение будет определяться положением изображающей точки в момент Положим

Пусть мало; спрашивается, будет ли мало при Предположим, что функции разложены в степенные ряды по Поскольку особая точка расположена в начале координат, постоянного члена не будет. Сохраняя лишь члены первой степени, получаем линейное приближение. Если определяемое линейным приближением движение устойчиво, то положение равновесия устойчиво по первому приближению.

В последнем случае естественно было бы ожидать устойчивости; однако это не всегда так. Нетрудно привести примеры, убеждающие нас в этом. Пусть, например, движение изображающей точки в плоскости описывается уравнениями первого порядка

где Линейное приближение

имеет решение

где и полярные координаты, и в рамках этого приближения начало координат представляет, очевидно, положение устойчивого равновесия. Если, однако, учесть члены второго порядка, то получим

Отсюда

где Таким образом, если то Как бы ни было мало непрерывно возрастает и за конечный промежуток времени достигает бесконечного значения.

С другой стороны, если линейное приближение показывает неустойчивость, то равновесие действительно неустойчиво. На первый взгляд может показаться, что переход от линейного приближения к точным уравнениям может превратить неустойчивый случай в устойчивый, однако в действительности это может случиться лишь в исключительных обстоятельствах. В некоторых случаях определяемое линейным приближением движение оказывается таким, что все стремятся к нулю, когда t стремится к бесконечности. В этих случаях говорят об асимптотической устойчивости по первому приближению. Асимптотическая устойчивость сохраняется и при переходе от линейного приближения к точным уравнениям: если в начальный момент малы, то они стремятся к нулю, когда t стремится к бесконечности.

Резюмируя, можем сказать, что если линейное приближение дает неустойчивость или асимптотическую устойчивость, то в общем случае то же самое мы будем иметь и при переходе к точным уравнениям. Что касается обычной устойчивости, то нельзя утверждать, что она всегда следует из линейного приближения. Эти вопросы мы рассмотрим подробнее в гл. XIX и XXI, где приведем доказательства сформулированных только сейчас положений.

Вернемся теперь к задаче о спящем волчке. Направим ось вертикально вверх (в § 9.8 ось мы направляли вертикально вниз) с целью избежать неприятностей, связанных с неопределенностью в положении кажущегося равновесия. Если направляющие косинусы оси волчка обозначить через то линейное приближение к уравнениям движения, полученное одним из указанных в § 9.8 способов, запишется в виде

где Оно отличается от уравнения (9.8.7) лишь знаком последнего члена в левой части. Если то решение не остается малым; если же то решение имеет вид

где а коэффициенты могут быть комплексными. Если начальный момент малы, то эти величины остаются малыми во все время движения, что следует из ранее известного факта устойчивости (существование знакоопределенного интеграла (9.9.8)).

Чтобы проиллюстрировать движение, описываемое уравнением (9.9.14), рассмотрим снова задачу § 8.9. Пусть в начальный момент точка оси волчка движется горизонтально, так что можно принять, что при параметры будем считать вещественными и положительными.

Возьмем (как в § 8.9) такой интервал значений к, чтобы ось волчка поднималась из начального положения; тогда траектория точки будет лежать внутри окружности Ранее, в § 8.9, мы рассматривали эту задачу, основываясь на точных уравнениях, но решение носило в основном описательный характер; сейчас мы используем приближенные уравнения, справедливые только для малых значений но решение этих уравнений будет точным.

Решение уравнения (9.9.14), удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид

Траекторией точки служит эпитрохоида. Если диск радиуса катится по неподвижной окружности радиуса а (рис. 27), то точка диска, отстоящая от его центра на расстоянии у, описывает кривую, определяемую уравнением

Если положить

то оно совпадет с уравнением (9.9.16). Переменные связаны между собой соотношением

Следуя тому же порядку изложения, что и в § 8.9, рассмотрим различные видоизменения движения, связанные с изменением к от до Имеем четыре критических случая; обозначим их (как в § 9.8) через

В случае А движение представляет собой медленную прецессию по окружности Между мы имеем либрацию, ограниченную окружностями (рис. 28).

Рис. 27.

Рис. 28.

Рис. 29.

В случае В траекторией служит эпициклоида с точками заострения на окружности (рис. 29). Между траектория представляет собой кривую с петлями, заключенную между

окружностями (рис. 30). В случае С мы имеем кривую проходящую через точку О (рис. 31).

Рис. 30.

Рис. 31.

Между мы вновь имеем либрацию, ограниченную двумя окружностями (рис. 32), и, наконец, в случае мы имеем быструю прецессию по окружности

Сюда относятся и две частные задачи, касающиеся гироскопа Фуко: 1) когда ось проходит через вертикаль и 2) когда ось начинает движение из состояния покоя, находясь в наклонном положении. Обе эти задачи охватываются описанной выше классификацией: первая относится к случаю С, вторая — к случаю В. Читателю, возможно, будет интересно получить решения независимо, как это сделано в § 9.8 для гироскопа Фуко.

Рис. 32.